（京津鲁琼专用）2020版高考数学第二部分专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义、方程与性质练习

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1、第2讲　圆锥曲线的定义、方程与性质[做真题]题型一　圆锥曲线的定义与方程1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若

2、AF2

3、＝2

4、F2B

5、，

6、AB

7、＝

8、BF1

9、，则C的方程为(　　)A．＋y2＝1　　　　　B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：选B.由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令

10、F2B

11、＝m，则

12、AF2

13、＝2m，

14、BF1

15、＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故

16、F2A

17、＝a＝

18、F1A

19、，则点A为

20、椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sinθ＝.在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝＝，所以＝1－2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)A．2B．3C．4D．8解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.3．(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b

21、＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1解析：选B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k>0)，即－＝1，因为双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，所以4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为－＝1.故选B.法二：因为椭圆＋＝1的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，所以a2＋b2＝(±3)2＝9①，因为双曲线的一条渐近线为y＝x，所以＝②，联立①②可解得a2＝4，b2＝5，所以双曲线C的方程

22、为－＝1.4．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则

23、FN

24、＝____________．解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0，4)，

25、FN

26、＝＝6.法二：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN

27、的中点，则点M的横坐标为1，所以

28、MF

29、＝1－(－2)＝3，

30、FN

31、＝2

32、MF

33、＝6.答案：6题型二　圆锥曲线的几何性质1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)A．B．C．D．解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设

34、F1F2

35、＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以

36、PF2

37、＝

38、F1F2

39、＝2c，

40、所以

41、OF2

42、＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，c)．因为点P在过点A，且斜率为的直线上，所以＝，解得＝，所以e＝，故选D.2．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．解析：通解：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图．所以

43、OF1

44、＝

45、OB

46、，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.

47、因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝，tan∠BOF2＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.优解：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，

48、OB

49、＝

50、OF2

51、，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1

52、OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c，0)可得B，因为点B在直线y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2.答案：23．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k