（京津鲁琼专用）2020版高考数学第一部分基础考点自主练透第3讲复数与平面向量练典型习题提数学素养

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1、第3讲　复数与平面向量一、选择题1．若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为(　　)A．－　　　　　　　B．C．iD．－i解析：选B.因为＝＝＋i，所以其实部为，虚部为，实部与虚部之积为.故选B.2．(2019·武昌区调研考试)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝(　　)A．－B．C．1或－D．1或解析：选A.因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以

2、a

3、2＋a·b－2

4、b

5、2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－，因为向量

6、a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－，故选A.3．(2019·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)A．－B．－C．D．解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，

7、b

8、＝，

9、a

10、＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.4．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，D为AB的中点，点E满足＝4，则＝(　　)A．－B．－C．＋D．＋解析：选A.因为D为AB的中点，点E满足＝4，所以＝，＝，

11、所以＝＋＝＋＝(＋)－＝－，故选A.5．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足

12、a

13、＝1，

14、b

15、＝2，a·(a－2b)＝0，则

16、a＋b

17、＝(　　)A．B．C．2D．解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以

18、a＋b

19、＝＝＝.故选A.6．已知(1＋i)·z＝i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A.因为(1＋i)·z＝i，所以z＝＝＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.7

20、．已知向量a与b的夹角为120°，且

21、a

22、＝

23、b

24、＝2，则a在a－b方向上的投影为(　　)A．1B．C．D．解析：选B.由向量的数量积公式可得a·(a－b)＝

25、a

26、

27、a－b

28、cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影

29、a

30、·cos〈a，a－b〉＝＝.又a·b＝

31、a

32、·

33、b

34、cos〈a，b〉＝2×2×cos120°＝－2，所以

35、a

36、·cos〈a，a－b〉＝＝，故选B.8．在如图所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段BC上的点，则·的最小值为(　　)A．12B．15C．17D．16解析：选B.以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴

37、，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0≤x≤2)，所以·＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是当x＝1，即E为BC的中点时，·取得最小值15，故选B.9．(一题多解)(2019·贵阳模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则·(＋)＝(　　)A．8B．12C．16D．20解析：选D.法一：设＝a，＝b，则a·b＝0，a2＝16，＝＋＝b＋a，＝(＋)＝＝a＋b，所以·(＋)＝a·＝a·＝a2＋a·b＝a2＝20，故选D.法二：以

38、A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD＝t(t>0)，则B(4，0)，C(2，t)，E，所以·(＋)＝(4，0)·＝(4，0)·＝20，故选D.10．(一题多解)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则

39、a－b

40、的最小值是(　　)A．－1B．＋1C．2D．2－解析：选A.法一：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨

41、令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知

42、a－b

43、min＝

44、

45、－

46、

47、＝－1.故选A.法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以

48、a－b

49、＝

50、(a－2e)＋(2e－b)

51、≥

52、a－2e

53、－

54、2e－b

55、＝

56、

57、－

58、

59、≥－1.故选A.11．(多选)下列命题正确的是(　　)A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是

60、虚数，则z1不是z2的共轭复数C．复数