(京津鲁琼专用)2020版高考数学第二部分专题二数列第2讲数列通项与求和练习(含解析)

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1、第2讲 数列通项与求和[做真题]题型一 an与Sn关系的应用1.(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________.解析:法一:因为Sn=2an+1,所以当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=-1;当n=2时,a1+a2=2a2+1,解得a2=-2;当n=3时,a1+a2+a3=2a3+1,解得a3=-4;当n=4时,a1+a2+a3+a4=2a4+1,解得a4=-8;当n=5时,a1+a2+a3+a4+a5=2a5+1,解得a5=-16;当n=6时,a1+a2+a3+a4+a5+a6=2a6+1,解得a6=-32;所以S6=-1-2

2、-4-8-16-32=-63.法二:因为Sn=2an+1,所以当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),所以an=2an-1,所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以an=-2n-1,所以S6==-63.答案:-632.(2015·高考全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=________.解析:因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,所以Sn+1-Sn=SnSn+1.因为Sn≠0,所以-=1,即-=-1.又=-1,所以{}是首项为-1,公

3、差为-1的等差数列.所以=-1+(n-1)×(-1)=-n,所以Sn=-.答案:-题型二 数列求和1.(2017·高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=__________.解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依题意,即解得所以Sn=,因此=2=.答案:2.(2018·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1

4、)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.3.(2016·高考全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列{bn}的前1000项和.解:(1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{an}的通项公式为an=n.b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.(2)因为bn=所以数列{bn}的前1000项和为1×90+2×900+

5、3×1=1893.[山东省学习指导意见]能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.能利用数列有关知识解决相应的问题.(求通项公式、求和、解实际问题)   Sn,an关系的应用[典型例题](1)已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2019=(  )A.-22019-1      B.32019-6C.-D.-(2)(2019·东北四市联合体模拟(一))已知数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则=________.(3)(一题多解)(2019·济南市调研测试)已知数列{an}的前n项和Sn满足

6、Sn=3Sn-1+2n-3(n≥2),a1=-1,则a4=________.【解析】 (1)因为a1=S1,所以3a1=3S1=2a1-3⇒a1=-3.当n≥2时,3Sn=2an-3n,3Sn-1=2an-1-3(n-1),所以an=-2an-1-3,即an+1=-2(an-1+1),所以数列{an+1}是以-2为首项,-2为公比的等比数列.所以an+1=(-2)×(-2)n-1=(-2)n,则a2019=-22019-1.(2)由题意可知nan+1+2anan+1=(n+1)an,两边同除以anan+1,得-=2,又=,所以是以为首项,2为公差的等差数列,所以=n+n(n-1)×2=n

7、2-n.(3)法一:由Sn=3Sn-1+2n-3(n≥2)可得S2=3S1+1=3a1+1,即a2=2a1+1=-1.根据Sn=3Sn-1+2n-3(n≥2)①,知Sn+1=3Sn+2n+1-3②,②-①可得,an+1=3an+2n(n≥2).两边同时除以2n+1可得=·+(n≥2),令bn=,可得bn+1=·bn+(n≥2).所以bn+1+1=(bn+1)(n≥2),数列{bn+1}是以b2+1=为首项,为公比的等比数列.所以bn

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