2019_2020学年高中数学课时跟踪检测（七）函数的最大（小）值与导数（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪检测（七）函数的最大（小）值与导数一、题组对点训练对点练一　求函数的最值1．函数f(x)＝－x在区间[0，＋∞)上(　　)A．有最大值，无最小值　　　B．有最大值，有最小值C．无最大值，无最小值D．无最大值，有最小值解析：选A　由已知得f(x)的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝－.令f′(x)>0，得f(x)的单调增区间为[0,1)；令f′(x)<0，得f(x)的单调减区间为(1，＋∞)．所以f(x)在区间[0，＋∞)上有最大值，无最小值．2．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为(　　)A．0B．C．

2、D．解析：选C　f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在x∈[2,4]上是单调减函数，故x＝4时，函数f(x)有最小值.3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.计算得f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，所以M－m＝32.答案：324．已知函数f(x)＝.(1)求f(x)在点(1,0)处的切线方程；(2)求函数

3、f(x)在[1，t]上的最大值．解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)的导数f′(x)＝.(1)f′(1)＝1，所以切线方程为y＝x－1.(2)令f′(x)＝＝0，解得x＝e.当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当1

4、f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　)A．－37B．－29C．－5D．以上都不对解析：选A　∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∴f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(0)＝m最大，∴m＝3.∵f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值为－37.6．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．解：由题意知f′(x)＝4－＝.又x>0，a>0，令f′(x)＝0，得x＝

5、，当0时，f′(x)>0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增，即当x＝时，f(x)取得最小值，则＝3，解得a＝36.对点练三　与最值有关的恒成立问题7．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)解析：选D　∵2x(x－a)<1，∴a>x－.令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞)．

6、8．已知a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)．若对任意x∈[－2,1]，不等式f(x)<32恒成立，求a的取值范围．解：因为f(x)＝ax(x2－4x＋4)＝ax3－4ax2＋4ax.所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x2－8x＋4)＝a(3x－2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝2(舍去)，当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．故f(x)的最大值为f＝a<32，即a<27.所以0f(1)＝

7、a.所以f(x)的最大值为f(－2)＝－32a<32，即a>－1.所以－1

8、f(x)＝x3－x2＋a，函数g(x)＝x2－3x，它们的定义域均为[1，＋∞)，并且函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，那么a的取值范围是(　　)A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．D．解析：选A　设h(x)＝f(x)－g(x)＝x3－x2＋a－x2＋3x，则h′(x)＝x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)，所以当x∈(1,3)时