高中数学课时跟踪检测十九函数的最大小值与导数含解析新人教A版选修.docx

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1、课时跟踪检测（十九）函数的最大(小)值与导数层级一　学业水平达标1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)(　　)A．等于0　　　　　　　　B．小于0C．等于1D．不确定解析：选A　因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.2．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是(　　)A．12，－8B．1，－8C．12，－15D．5，－16解析：选A　y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8

2、.∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.3．函数f(x)＝x4－4x(

3、x

4、<1)(　　)A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值解析：选D　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.4．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为(　　)A．2B．3C.D．2＋解析：选B　由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，且x∈(0,1)时，f′(x)＜0，x∈(1,

5、5]时，f′(x)＞0，∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.5．函数y＝的最大值为(　　)A．e－1B．eC．e2D．10解析：选A　令y′＝＝＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝f(e)＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.6．函数y＝－x(x≥0)的最大值为__________．解析：y′＝－1＝，令y′＝0得x＝.∵0＜x＜时，y′＞0；x＞时，y′＜0.∴x＝时，ymax＝－＝.答案：7．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最小值为________．解析：f′(x)＝e－x－

6、xe－x＝e－x(1－x)．令f′(x)＝0，得x＝1(e－x＞0)，∴f(1)＝＞0，f(0)＝0，f(4)＝＞0，所以f(x)的最小值为0.答案：08．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.解析：∵f′(x)＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)＜f(3)．∴f(x)max＝f

7、(3)＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.答案：209．设函数f(x)＝ex－x2－x.(1)若k＝0，求f(x)的最小值；(2)若k＝1，讨论函数f(x)的单调性．解：(1)k＝0时，f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(0)＝1.(2)若k＝1，则f(x)＝ex－x2－x，定义域为R.∴f′(x)＝ex－x－1，令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，由g′

8、(x)≥0得x≥0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，由g′(x)<0得x<0，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，∴g(x)min＝g(0)＝0，即f′(x)min＝0，故f′(x)≥0.所以f(x)在R上单调递增．10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.(1)求a，b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．解：(1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f

9、(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切线y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，∴3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，由解得∴a＝2，b＝－4.(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－21f′(x)＋0－0＋f(x)8极大值极小值4∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为

10、13.层级二　应试能力达标1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0