2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理 (I)

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1、2019-2020学年高二数学上学期期中试题理(I)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过点且平行于直线的直线方程为（）A．B．C．D．2．高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．30B．31C．32D．333．如果，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．4．在等比数列中，若公比，，则的值为（）A．56B．58C．6

2、3D．645．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：①；②a；③④；其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④6．已知的三边长为，满足直线与圆相离，则是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能7．若为三角形中的最小内角，则函数的值域是（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A．5B．1C．D．9．在中，，边上的高等于，则（）A．B．C．D．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．60B．72C．81D．114

3、11．若向量满足，则在方向上投影的最大值是（）A．B．C．D．12．圆锥的轴截面是边长为4的正三角形（为顶点），为底面中心，为中点，动点在圆锥底面内（包括圆周），若，则点形成的轨迹长度为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知变量满足约束条件，则的最大值是．14．如图，茎叶图记录了甲、乙两学习小组各3名同学在月考1中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为．15．在上随机的取一个数，则事件“圆与圆相交”发生的概率．16．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，，，则球的表面积为．

4、三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，．求证：（1）直线平面；（2）平面平面．18．某重点高中拟把学校打造成新型示范高中，为此制定了学生“七不准”，“一日三省十问”等新的规章制度．新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度随机抽取部分学生进行问卷调查，调查卷共有10个问题，每个问题10分，调查结束后，按分数分成5组：，，，，，并作出频率分布直方图与样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．（1）求样本容量和频率分布直方图中的的值；

5、（2）在选取的样本中，从分数在70分以下的学生中随机抽取2名学生进行座谈会，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率．19．在中，角对应的边分别是，已知.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值20．已知点，过点动直线与圆交与点两点．（1）若，求直线的倾斜角；（2）求线段中点的轨迹方程．21．在如图所示的圆锥中，是圆锥的高，是底面圆的直径，点是弧的中点，是线段的中点，是线段的中点，且，．（1）试在上确定一点，使得面，并说明理由；（2）求点到面的距离．22．已知，设是单调递减的等比数列的前项和，且成等差数列．（1）求数列的通项公式

6、；（2）记数列的前项和为，求证：对于任意正整数，.参考答案一、选择题1-5:ACDCD6-10:CBCBB11、12：BD二、填空题13．214．15．16．三、解答题17．证明：（1）在直三棱柱柱中，，在三角形中，因为分别为中点，所以，于是，又因为平面，平面所以直线平面（2）在直三棱柱中，平面因为平面，所以又因为，平面，平面，所以平面因为平面，所以又因为，平面，平面，所以平面因为直线平面，所以平面平面．18．解：（1）由题意可知，样本容量，，.（2）由题意可知，分数在内的学生有5人，记这5人分别为，分数在内的学生有2人，记这2人分

7、别为．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.其中2名同学的分数恰有一人在内的情况有10种，∴所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率.19．解：（1），得，即，解得或（舍去），因为，所以（2）∵，∴∵，∴，∴，从而，综上：.20．解:（1）圆的方程化为，又当动直线的斜率不存在时，直线的方程为时，显然不满足题意；当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为：即故弦心距.再由点到直线的距离公式可得解得即直线的斜率等于，故直线的倾斜角等于或.（2）设由垂径定理可知，故点的轨迹是以为直径的圆．又点，故

8、的轨迹方程为21．解：（1）连接，设，由题意为的重心，∴，连接，∵面，平面，面面，∴，∴又，∴∴点是上靠近点的四等分点．（2），又点是弧的中点，，∴面，面，∴.因为，，∴点到面的距离22．解：（1）设数列的公比，由，得，即，∴．是单调