2019年高中数学 3.2.3+3.2.4 直线与平面的夹角 二面角及其度量课后知能检测 新人教B版选修2-1

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1、2019年高中数学3.2.3+3.2.4直线与平面的夹角二面角及其度量课后知能检测新人教B版选修2-1一、选择题1．直线l与平面α成45°角，若直线l在α内的射影与α内的直线m成45°角，则l与m所成的角为(　　)A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°【解析】　由最小角定理知，设l与m成θ角，则cosθ＝cos45°·cos45°，∴cosθ＝，∴θ＝60°.故选C.【答案】　C2．已知A∈α，P∉α，＝(－，，)，平面α的一个法向量n＝(0，－，－)，则直线PA与平面α所成的角为(　　)A．30°B．45°C．60°D．150°【解

2、析】　设直线PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝

3、cos〈，n〉

4、＝＝.∴θ＝60°.【答案】　C3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°【解】　如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)．取PD中点为E，则E(0，，)，∴＝(0，，)，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴cos，＝，∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.【答案】　B4．(xx

5、·西安高二检测)一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角(　　)A．相等B．互补C．相等或互补D．无法确定【解析】　举例说明，如图所示两个二面角的半平面分别垂直，则半平面γ绕轴l旋转时，总有γ⊥β，故两个二面角大小无法确定关系．【答案】　D5．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为(　　)A．60°B．90°C．45°D．以上都不对【解析】　以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．由题

6、意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)．设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则⇒令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，cos〈n，〉＝＝＝－1.所以〈n，〉＝180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.【答案】　B二、填空题6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为______．【解析】　连接B1D1，∴B1D1为BD1在平面A1B1C1D1内的射影，∴∠BD1B1

7、为BD1与平面A1B1C1D1所成的角，设正方体棱长为a，则tan∠BD1B1＝＝.【答案】　图3－2－247．如图3－2－24，在三棱锥O－ABC中，OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝90°，OC⊥平面AOB，D为AB的中点，则OD与平面OBC的夹角为________．【解析】　∵OA⊥平面OBC，∴是平面OBC的一个法向量．而D为AB的中点，OA＝OB，∴∠AOD＝〈，〉＝45°.∴OD与平面OBC所成的角θ＝90°－45°＝45°.【答案】　45°8．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α

8、与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.【解析】　平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝(，，1)．而cos〈n，u〉＝＝，又∵a＞0，∴a＝.【答案】　三、解答题图3－2－259．在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求：二面角E－AC－D的大小．【解】　如图以A为原点，以AC、AB、AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝AB＝a，AC＝b.连接BD与AC交于O，取AD中点F，连

9、接OE，OF，EF，则C(b,0,0)，B(0，a,0)，＝.∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)．∴E，O，＝，＝(b,0,0)，∵·＝0，∴⊥，＝＝，·＝0，∴⊥.∴∠EOF为二面角E－AC－D的平面角．cos〈，〉＝＝.∴二面角E－AC－D的大小为45°.10．四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．【解】　如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，

10、C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)证明：∵＝(－a，a