高中数学 3.2.3 3.2.4 直线与平面的夹角 二面角及其度量学案 新人教B版选修.doc

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1、3.2.3　直线与平面的夹角3.2.4　二面角及其度量1．理解直线与平面所成角的概念．(重点)2．会用向量法求线线、线面、面面的夹角．(重点、难点)3．正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系．(易错点)[基础·初探]教材整理1　直线与平面的夹角阅读教材P106～P107“例”以上部分内容，完成下列问题．1．直线与平面所成的角2．最小角定理1．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为_______________．【解析】　设l与α所成的角为θ，则sinθ＝

2、cos〈m，n〉

3、＝，∴θ＝60°.【答案】　60°2．PA，PB，PC是由点

4、P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面PAB所成角的余弦值为________．【解析】　设PC与平面PAB所成的角为θ，则cos60°＝cosθcos30°，得cosθ＝.【答案】　教材整理2　二面角及其度量阅读教材P108～P109“例1”以上部分内容，完成下列问题．1．二面角的相关概念(1)二面角及其平面角半平面平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作αlβ，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作AlB平面角在二面角α

5、lβ的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角αlβ的平面角(2)二面角的范围设二面角为α，则0°≤α≤180°.2．直二面角平面角是直角的二面角叫做直二面角．3．二面角的度量(1)分别在二面角αlβ的面α，β内，作向量n1⊥l，n2⊥l，则可以用〈n1，n2〉来度量二面角αlβ.(2)设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与二面角αlβ大小相等或互补．1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BCA的余弦值为(　　)A.　B．　C．　D．【解析】　易知∠A1BA为二面角A1BCA的平面角，cos∠A1BA＝＝.【答案】　C2．已知△ABC和△BC

6、D均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角ABCD的大小为(　　)【导学号：】A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】　如图，取BC的中点为E，连接AE，DE，由题意得AE⊥BC，DE⊥BC，且AE＝DE＝a，又AD＝a，∴∠AED＝60°，即二面角ABCD的大小为60°.【答案】　C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：____________________________________________________

7、____疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]利用空间角的定义求空间角　在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，试求B1

8、D1与平面A1BCD1所成角的正弦值．【精彩点拨】　作出B1点在平面A1BCD1内的射影，从而得到B1D1在平面A1BCD1内的射影．【自主解答】　作B1E⊥A1B，垂足为E，又因为A1D1⊥平面ABB1A1，∴A1D1⊥B1E.由B1E⊥A1B及B1E⊥A1D1得B1E⊥平面A1BCD1，所以，D1E就是D1B1在平面A1BCD1内的射影，从而∠B1D1E就是D1B1与平面A1BCD1所成的角．在Rt△B1D1E中，有sin∠B1D1E＝.D1B1＝＝＝5，又S△A1BB1＝A1B·EB1＝A1B1·BB1，A1B＝＝，∴EB1＝＝，∴sin∠B1D1E＝.1．作直线与平面夹角的一般方法：在

9、直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角．其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”．2．用定义求二面角的步骤：(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)；(2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角；(3)解三角形求角．[再练一题]1．如图3224，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角AVBC的余弦值．