12.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布

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1、第5课时离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．均值(1)若离散型随机变量X的分布列为基础知识梳理Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称EX＝为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝.(3)①若X服从两点分布，则EX＝；②若X～B(n，p)，则EX＝.基础知识梳理x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平aEX＋bpnp2．方差(1)设离散型随机变量X的分布列为基础知识梳理Xx1x2…xi…xnPp1

2、p2…pi…pn(2)D(aX＋b)＝.(3)若X服从两点分布，则DX＝．(4)若X～B(n，p)，则DX＝．基础知识梳理σXnp(1－p)p(1－p)a2DX基础知识梳理思考？随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？【思考·提示】随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴，与x轴；(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为

3、；基础知识梳理上方不相交x＝μ1(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越；，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越．基础知识梳理σ越小集中σ越大分散基础知识梳理思考？参数μ，σ在正态分布中的实际意义是什么？【思考·提示】μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．1．若随机变量X的分布列如下，则X的数学期望是()A.pB．qC．1D．pq答案：B三基能力强化X01Ppq2．正态总体N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P

4、2，则()A．P1＞P2B．P1＜P2C．P1＝P2D．不确定答案：C三基能力强化3．一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数X的期望值是()A．0.83B．0.8C．2.4D．3答案：C三基能力强化4．(教材习题改编)某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击；若没有中靶，则继续射击．如果只有3发子弹，则射击次数X的数学期望为________．(用数字作答)答案：1.24三基能力强化5．(2009年高考广东卷)已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝

5、________，b＝________.三基能力强化关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.课堂互动讲练考点一正态分布课堂互动讲练例1设X～N(5,1)，求P(6＜X＜7)．【思路点拨】利用正态分布的对称性，P(6＜X＜7)＝P(3＜X＜4)．课堂互动讲练【解】由已知μ＝5，σ＝1.∵P(4＜X＜6)＝0.6826，P(3＜X＜7)＝0.9544.∴P(3＜X＜4

6、)＋P(6＜X＜7)＝0.9544－0.6826＝0.2718.如图，由正态曲线的对称性可得P(3＜X＜4)＝P(6＜X＜7)【名师点评】在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，而不是x＝0(μ≠0)．课堂互动讲练若其他条件不变，则P(X≥7)及P(5＜X＜6)应如何求解？课堂互动讲练互动探究解：由σ＝1，μ＝5，P(3＜X＜7)＝P(5－2×1＜X＜5＋2×1)＝0.9544，课堂互动讲练求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值；(2)求X取每个值的概率；(3)

7、写出X的分布列；(4)由均值的定义求EX；(5)由方差的定义求DX.另外，当随机变量X服从两点分布或二项分布时，可不用列出分布列，直接由公式求出EX和DX.课堂互动讲练考点二求离散型随机变量的期记与方差课堂互动讲练例2(2009年高考山东卷)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练

8、结束后所得的总分，其分布列为课堂互动讲练ξ02345P0.03p1p2p3p4(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．课堂互动讲练【思路点拨】首先由P(ξ＝0)＝0.03计算出q2，从而可写出分布列．本题便可求解．【解】(1)由题设知，“ξ＝0