2019-2020年高中数学 第一章 §4 数学归纳法应用创新演练 北师大版选修2-2

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1、2019-2020年高中数学第一章§4数学归纳法应用创新演练北师大版选修2-21．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证(　　)A．1＋<2　　　　　　　B．1＋＋<2C．1＋＋<3D．1＋＋＋<3解析：∵n>1，且n∈N＋，∴n的第一个取值n0＝2.此时＝.答案：B2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假设n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈

2、N＋)解析：因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．答案：B3．已知数列{an}的前n项之和为Sn且Sn＝2n－an(n∈N＋)，若已经算出a1＝1，a2＝，则猜想an＝(　　)A.B.[C.D.解析：∵a1＝1，a2＝，又S3＝1＋＋a3＝6－a3，∴a3＝.同理，可求a4＝，观察1，，，，…，容易猜想出an＝.答案：D4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为(　　)A．增加B．增加＋C．增加＋，减少D．增加，

3、减少解析：当n＝k时，不等式的左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式的左边＝＋＋…＋，又＋＋…＋－＝＋－，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加＋，减少.答案：C5．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：凸k＋1边形在凸k边形的基础上增加了一条边，同时内角和增加了一个三角形的内角和即π.答案：π6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n

4、＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以，当n＝k＋1时等式成立．由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：当n＝k＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，即一定用上第二步中的假设．答案：没有用上归纳假设进行递推7．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．(1)计算a2，a3，a4；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．解：(1)a1＝1，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.(2)由(1)的计算猜想知an＝.下面用数学归纳法进行证明．①当n＝1时，a

5、1＝1，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝，那么ak＋1＝＝＝，即当n＝k＋1时，等式也成立．根据①②可知，对任意n∈N＋都有an＝.8．已知数列{an}的各项均为正数，且满足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N＋.证明an

6、1)．而ak－ak＋1<0,4－ak－ak＋1>0，∴ak＋1－ak＋2<0.又ak＋2＝ak＋1(4－ak＋1)＝[4－(ak＋1－2)2]<2，∴n＝k＋1时命题正确．由①②知，对一切n∈N＋有ak