2019-2020年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第一章 §4 数学归纳法

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1、2019-2020年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第一章§4数学归纳法在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：这种现象对你有何启发？提示：这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题．数学归纳法及其基本步骤：数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1)验证：n＝1时，命题成立；(

2、2)在假设当n＝k(k≥1)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．1．数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明．2．应用数学归纳法时应注意：(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；(2)在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．用数学归纳法证明等式[例1]　用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N＋)．[思路点拨]　运用数学归纳法由n＝k到n＝k＋1，等式左边增加了两项．结合等式右边的结构特点，进一步确定所需要的项及多余项，

3、最后凑成所需要的结构形式即可．[精解详析]　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，＋＝＋＝＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)和(2)可知，对一切正整数n等式都成立．[一点通]　用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项．1．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3

4、×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．2．用数学归纳法证明

5、：当n∈N＋时，13＋23＋33＋…＋n3＝.证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即13＋23＋33＋…＋k3＝.那么，当n＝k＋1时，有13＋23＋33＋…＋k3＋(k＋1)3＝＋(k＋1)3＝(k＋1)2＝(k＋1)2＝＝.即当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任何n∈N＋等式都成立.用数学归纳法证明不等式[例2]　求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)．[思路点拨]　在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中可考虑使用“放缩法”，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常

6、用方法之一．[精解详析]　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋>＋>＋＝，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立．[一点通]　对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明．使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口．3．数列{an

7、}满足a1＝1且an＋1＝an＋(n≥1，且n∈N＋)，用数学归纳法证明：an≥2(n≥2，且n∈N＋)．证明：(1)当n＝2时，a2＝2≥2，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时不等式成立，即ak≥2(k≥2)，那么ak＋1＝ak＋≥2.即当n＝k＋1时不等式也成立．根据(1)(2)可知：an≥2对所有n≥2(n∈N＋)都成立．4．用数学归纳法证明：当n∈N＋时，1＋22＋32＋…＋nn<(n＋1)n.证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk

8、<(k＋1)k，那么，当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1<(k