2019-2020年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第二章 §3 计算导数

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1、2019-2020年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第二章§3计算导数对于函数y＝－x2＋2.问题1：试求f′(1)，f′.提示：f′(1)＝li＝li(－2－Δx)＝－2.f′＝li＝li(1－Δx)＝1.问题2：求f′(x0)的值．提示：f′(x0)＝li＝li(－2x0－Δx)＝－2x0.问题3：利用f′(x0)可求f′(1)和f′吗？提示：可以．只要令x0＝1，x0＝－.问题4：若x0是一变量x，则f′(x)还是常量吗？提示：因f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，其值随自变量x而改变．1．导函数

2、若一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝li，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝sinxy′＝cos_xy＝xα(α为实数)y′＝αxα－1y＝cosxy′＝－sin_xy＝ax(a>0，a≠1)y′＝axln_a特别地(ex)′＝exy＝tanxy′＝y＝logax(a>0，a≠1)y′＝特别地(lnx)′＝y＝cotxy′＝－1．f

3、′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，它是一个确定的函数，是对一个区间而言的；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，它是一个确定的值，是函数f′(x)的一个函数值．2．对公式y＝xα的理解：(1)y＝xα中，x为自变量，α为常数；(2)它的导数等于指数α与自变量的(α－1)次幂的乘积，公式对α∈R都成立．利用导函数定义求导数[例1]　求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数．[思路点拨]　先用导函数的定义求f′(x)，再将x＝3代入即可得f′(3)．[精解详析]　f′(x)＝li＝li＝l

4、i(2x＋Δx＋5)＝2x＋5.∴f′(3)＝2×3＋5＝11.[一点通]　利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(3)当Δx趋于0时，得到导函数f′(x)＝.1．利用导数定义求f(x)＝1的导函数，并求f′(2)，f′(3)．解：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝1－1＝0，＝0.Δx趋于0时，趋于0.所以f′(x)＝0.所以有f′(2)＝0，f′(3)＝0.2．求函数y＝的导函数．解：Δy＝－，＝＝，所以y′＝

5、＝＝.利用导数公式求导数[例2]　求下列函数的导数．(1)y＝x13，(2)y＝，(3)y＝log3x，(4)y＝.[思路点拨]　(1)(3)直接套用公式，(2)(4)先将分式、根式转化为幂的形式，再求解．[精解详析]　(1)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12；(2)y′＝()′＝(x)′＝x＝x；(3)y′＝(log3x)′＝；(4)y′＝′＝(x－)′＝－x＝－x.[一点通]　求简单函数的导函数有两种基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解

6、题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．3．函数y＝sin的导数是________．解析：y＝sin＝cosx，所以y′＝－sinx.答案：－sinx4．若f(x)＝x2－ex，则f′(－1)＝________.解析：f′(x)＝2x－ex，∴f′(－1)＝－2－e－1.答案：－2－e－15．求下列函数的导数：(1)y＝x2014；(2)y＝；(3)y＝5x；(4)y＝.解：(1)y′＝(x2014)′＝2014x2013；(2)y′＝′＝－9x－4；(3)y′＝(5x)′＝5xln5；(

7、4)y′＝()′＝′＝导数的综合应用[例3]　点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[精解详析]　根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即f′(x0)＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为.[一点通]　利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题．解题的关键是将

8、问题转化为切点或切线的相关问题，利用导数求解．6．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标是(　　)A.　　　　　B.或C.D.解析：由y′＝－＝－4，得x＝±，故点P的坐标为或.答案：B7．曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________．解析：由联立得交点为(1,1)