2019-2020年高中数学 3-2-3向量法在空间垂直关系中的应用同步检测 新人教A版选修2-1

《2019-2020年高中数学 3-2-3向量法在空间垂直关系中的应用同步检测 新人教A版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2019-2020年高中数学3-2-3向量法在空间垂直关系中的应用同步检测新人教A版选修2-1一、选择题1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，则m为(　　)A．－4　　　　B．－6　　　　C．－8　　　　D．8[答案]　C[解析]　∵l∥α，∴l与平面α的法向量垂直．故2×1＋×m＋1×2＝0，解得m＝－8，故选C.2．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是(　　)A．(1，－2,0)B．(0，－2,2)C．(2，－4,4)D

2、．(2,4,4)[答案]　C[解析]　∵(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n，∴(2，－4,4)可作为α的一个法向量．3．(xx·雅安高二检测)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝(　　)A.　　　B．1　　　　C.　　　D.[答案]　A[解析]　ka＋b＝(k－1，k,2),2a－b＝(3,2，－2)．若ka＋b与2a－b垂直，则(ka＋b)·(2a－b)＝0.即3(k－1)＋2k－4＝0.解得k＝，故选A.4．已知A(3,0，－1)、B(0，－2

3、，－6)、C(2,4，－2)，则△ABC是(　　)A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案]　C[解析]　＝(－3，－2，－5)，＝(－1,4，－1)，则·＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.∴⊥，故△ABC为直角三角形．又

4、

5、≠

6、

7、故选C.二、填空题5．在直角坐标系O—xyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．[答案]　或[解析]　∵·＝cosx(2cosx＋1

8、)－2cos2x－2＋3×0＝2cos2x＋cosx－2(2cos2x－1)－2＝－2cosx2＋cosx.∴－2cos2x＋cosx＝0，即cosx＝0或cosx＝，又∵x∈[0，π]，∴x＝或.6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．[答案]　①②③[解析]　·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则

9、⊥.·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则⊥，∵⊥，⊥，∩＝A，∴⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．三、解答题7．已知A、B、C、D是空间四个不同的点，求证：AC⊥BD的充要条件是AD2＋BC2＝CD2＋AB2.[证明]　设＝a，＝b，＝c，则AC⊥BD⇔b·(c－a)＝0⇔a·b＝b·c，AD2＋BC2＝CD2＋AB2⇔

10、

11、2＋

12、

13、2＝

14、

15、2＋

16、

17、2⇔

18、c

19、2＋(b－a)2＝

20、c－b

21、2＋

22、a

23、2⇔a·b＝b·c，∴AC⊥BD⇔AD2＋BC2＝CD2＋AB2.8．如图，△ABC中，AC＝BC，

24、D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC.[证明]　设＝a，＝b，＝v.由条件知，v是平面ABC的法向量，∴v·a＝0，v·b＝0，∵D为AB中点，∴＝(a＋b)，∵O在CD上，∴存在实数λ，使＝λ＝(a＋b)，∵CA＝CB，∴

25、a

26、＝

27、b

28、，·＝(b－a)·＝(a＋b)·(b－a)＋(b－a)·v＝(

29、a

30、2－

31、b

32、2)＋b·v－a·v＝0，∴⊥，∴AB⊥PC.9．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，如果BC⊥PB，求证ABCD是矩形．[证明

33、]　由条件知⊥，⊥，＝，∵BC⊥PB，∴·＝0，即·(－)＝0，∴·－·＝0，∵·＝0，∴·＝0，∴AD⊥AB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ABCD为矩形．10．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D.[解析]　如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A

34、1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．(1)∵＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，∴·＝0－4＋4＝0，∴⊥，∴BC1⊥AB1.(2)取A1C的中点E，∵E(1,0,1)，∴＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，∴＝－，且ED和BC1不共线，则ED∥BC1.又ED⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.[点评]　第(2)问可求出＝(1,1,0)，＝(2,0