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《高中数学3-2-3向量法在空间垂直关系中的应用同步检测新人教B版选修2-.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2第3课时向量法在空间垂直关系中的应用一、选择题1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，1，则为()1)，平面α的法向量为(1，，2)m,m2A．－4B．－6C．－8D．8[答案]C[解析]∵l∥α，∴l与平面α的法向量垂直．故2×1＋1×＋1×2＝0，m2解得m＝－8，故选C.2．若＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是()nA．(1，－2,0)B．(0，－2,2)C．(2，－4,4)D．(2,4,4)[答案]C[解析]∵(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n，∴(2，－
2、4,4)可作为α的一个法向量．3．(2010·雅安高二检测)已知向量a＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)，且＋与2－b互相bkaba垂直，则k＝()7A.5B．13D.1C.55[答案]A[解析]ka＋b＝(k－1，k,2),2a－b＝(3,2，－2)．若ka＋b与2a－b垂直，则(ka＋b)·(2a－b)＝0.即3(k－1)＋2k－4＝0.7解得k＝5，故选A.4．已知A(3,0，－1)、B(0，－2，－6)、C(2,4，－2)，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案
3、]C-1-[解析]→→AB＝(－3，－2，－5)，AC＝(－1,4，－1)，则→·→＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.ABAC→→∴AB⊥AC，故△ABC为直角三角形．→→故选C.又
4、AB
5、≠
6、AC
7、二、填空题5．在直角坐标系O—xyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．[答案]ππ2或3[解析]→→－2cos2x－2＋3×0＝2cos22∵OP·OQ＝cosx(2cosx＋1)x＋cosx－2(
8、2cosx－1)－22＝－2cosx＋cosx.2∴－2cosx＋cosx＝0，1即cosx＝0或cosx＝2，ππ又∵x∈[0，π]，∴x＝2或3.6．已知点P是平行四边形所在平面外一点，如果→＝(2，－1，－4)，→＝(4,2,0)，ABCDABAD→＝(－1,2，－1)．对于结论：①⊥；②⊥；③→是平面的法向量；④→∥→.APAPABAPADAPABCDAPBD其中正确的是________．[答案]①②③[解析]→→→→AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB⊥AP
9、.→→→→AP·AD＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP⊥AD，∵→⊥→，→⊥→，→∩→＝，APABAPADABADA→→∴AP⊥平面ABCD，故AP是平面ABCD的一个法向量．三、解答题7．已知、、、D是空间四个不同的点，求证：⊥的充要条ABCACBD2222件是AD＋BC＝CD＋AB.[证明]→→→设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AC⊥BD?b·(c－a)＝0?a·b＝b·c，-2-2222→2→2→2→2222＋
10、a
11、2AD＋BC＝CD＋AB
12、＋
13、BC
14、＝
15、CD
16、＋
17、AB
18、?
19、c
20、＋(b－a)＝
21、c－b
22、
23、·?
24、AD?ab＝·，bc2222∴AC⊥BD?AD＋BC＝CD＋AB.8．如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在上，求证：⊥.CDABPC[证明]→→→设CA＝a，CB＝b，OP＝v.由条件知，v是平面ABC的法向量，∴v·a＝0，v·b＝0，∵为中点，∴1＋)，DAB→＝(aCD2b∵O在CD上，∴存在实数λ，使→＝λ→＝λ(a＋)，COCD2b∵CA＝CB，∴
25、a
26、＝
27、b
28、，→·→＝(b－a)·λ(a＋b)＋vABCP2＝λ(a＋b)·(b－a)＋(b－a)·v2λ22＝2(
29、
30、a
31、－
32、b
33、)＋b·v－a·v＝0，→→∴AB⊥CP，∴AB⊥PC.9．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面，如果⊥，求证是矩形．ABCDBCPBABCD[证明]→→→→→→由条件知AP⊥AB，AP⊥AD，AD＝BC，→→∵BC⊥PB，∴BC·PB＝0，→→→＝0，即AD·(AB－AP)→→→→∴AD·AB－AD·AP＝0，→→→→∵AD·AP＝0，∴AD·AB＝0，∴AD⊥AB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ABCD为矩形．10．如图，已知直三棱柱－111中，⊥，为的中点，＝＝1.A
34、BCABCACBCDABACBCBB(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D.-3-[解析]如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，111C1(0,0,0)，D(1,
