2019-2020年高考数学复习《棱锥》典型例题

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1、2019-2020年高考数学复习《棱锥》典型例题例1正六棱锥的底面周长为24，侧面与底面所成角为，求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长；（4）侧棱与底面所成角．分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求未知量．解：正六棱锥的底面周长为24．∴正六棱锥的底面边长为4．在正棱锥中，取中点，连，，是正六边形的中心．连，则底面∴．∴是侧面与底面所成二面角的平面角，即．（1）在△中，，，∴．（2）同样在△中，斜高，（3）△中，，．∴．（4）∵底面，∴是侧棱与底面所成角，同样在△中，，∴，说明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥

2、中有关长度、角度主要在两上重要的直角三角形中，本题中的方法也可用于其它正棱锥中．比如：已知正四棱锥底面边长为，相邻两侧面所成二面角为，求正棱锥的高、斜高、侧棱长．正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形，利用这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先计算侧棱长为，然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中，计算出高为，斜高为．典型例题二例2如图所示，正四棱锥棱长均为13，，分别是，上的点，且．（1）求证：直线平面；（2）求直线与底面所成角的正弦．分析：（1）要证明平面，只需证明与平面内某一条直线平行．为此连并延长交于，连．可考虑证明．（2）若能证明，则即为直线与底面所成的角．解：（1

3、）连并延长交于，再连．∵，∴，又，∴，∴，又平面，平面，∴平面．（2）设为底面中心，连，，则平面．又，则为直线与平面所成的角．由及，得，在△中，，，，由余弦定理，得．在△中，，，则．说明：本题（2）若直接求与平面所成的角，计算就比较复杂，而平移为求与底面所成的角，计算就易得多．可见，平移是求线线、线面所成角的重要方法．典型例题三例3斜三棱柱的底面△是直角三角形，，侧棱与底面成角，点在底面的射影为的中点，．（1）求证；（2）若为的二面角，求四棱锥的体积．分析：证关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面；而求棱锥的体积关键在于求出其底面积和高．这两个问题可由题设及线与线、线与面的位

4、置关系求得．解：如图所示，（1）∵平面，底面，∴．∵，∴平面，∴．∵在底面上的射影为的中点，侧棱与底面成角，∴四边形是菱形，∴，∴平面，∴．（2）过作，连结．∵平面，∴是在平面上的射影，∴，∴是二面角的平面角，∴．在△中，，在△中，由可得．∴，∴．∴（体积单位）．说明：证明线线垂直转化成证线面垂直是证明时常用的方法之一，而证线面垂直时又涉及线与线的垂直，因此线与面各种位置关系经常贯穿问题的始终．当遇到一线垂直于一截面，而截面面积又能计算时，将几何体分割成两个体积之和计算也是一种常用的方法．结果便转化成截面与此线相乘的关系，因而使问题得到简化．典型例题四例4如图，在三棱锥中，底面，，、

5、分别是和的中点，为上一点，且，．（1）求证：平面；（2）求截面分棱锥所成两部分的体积之比．分析：由底面，可以判定平面平面，且相交于，因为是的中点，且，所以，于是有平面，．若证平面，只需与平面中的另一条直线垂直就可以了．为此，就要从已知的数量关系着手，找到新的线与线的垂直关系．平面把三棱锥分成两部分，显然这两部分具有相同的高线．所以，只要找到△和四边形的面积之比，就可以确定两部分的体积之比了．证明：（1）∵平面，且平面∴平面平面，且相交于在△中，∵，是边上的中线∴．∴平面∵平面，∴利用两个平面垂直的性质定理可以证明平面在△和△中设，则，，，∵，∵，∴△～△∵，∴∴．∵利用相似三角形的性

6、质，得到∴∵，∴平面．解：（2）∵∵，∴∴∴∴截面分棱锥为两部分，三棱锥与四棱锥的体积之比为1：2．典型例题五例5四棱锥，侧面是边长为2的正三角形且与底面垂直，底面是面积为的菱形，为菱形的锐角．（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求棱锥的侧面积与体积．分析：取中点，侧面底面，从而可利用三垂线定理转化为证明，线面垂直也为二面角平面角的落实创造了有利条件，棱锥的侧面积可通过抓侧面三角形的特殊性来解决．证明：（1）取中点，连、，∵△是等边三角形，∴，∵面底面，∴底面，∵等边△的边长为2，∴∴菱形的边长为2，又菱形的面积是，∴，∴，又是锐角，∴，∴△是等边三角形，∴，在平面上射影为，∴

7、．解：（2）∵，由（1），，∴，．∴是二面角的平面角，在△中，∴，即二面角的大小为．（3）由（2）在△中，可得，在△中，，，∴，，在△中，，，可得，在△中，，，可得，又正△边长为2，∴，∴，∵，∴．说明：抓线面垂直关系是解决立体几何问题的关键，非特殊棱柱、棱锥的侧面积，往往要通过逐个计算每个侧面的面积相加而得到，这就需要分析每个侧面的具体特点，比如是否为矩形、直角三角形、等边三角形等．可以举一个类似的例子，四棱锥的高为1，底面为菱形，侧面和侧面所成角为，且