2019-2020年高考数学复习《空间直线》典型例题

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1、2019-2020年高考数学复习《空间直线》典型例题例1若，，则，的位置关系是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交直线或异面直线分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论．解：如图所示，在正方体中，设，，则．若设，则与相交．若设，则与异面．故选D．说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，，相交，，相交，则，的位置关系是相交、平行或异面．类似地；，异面，，异面，则，的位置关系是平行、相交或异面．这些都可以用正方体模型来判断．典型例题二例2已知直线和

2、点，，求证：过点有且只有一条直线和平行．分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性．存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象．因此，这是否定性命题，常用反证法．证明：（1）存在性．∵，∴和可确定一个平面，由平面几何知识知，在内存在着过点和平行的直线．（2）惟一性假设在空间过点有两条直线和满足和．根据公理4，必有与矛盾，∴过点有一条且只有一条直线和平行．说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要

3、注意证明它的存在性和惟一性．典型例题三例3如图所示，设，，，分别是空间四边形的边，，，上的点，且，，求证：（1）当时，四边形是平行四边形；（2）当时，四边形是梯形．分析：只需利用空间等角定理证明即可．证明：连结，在中，，∴，且．在中，，∴，且．∴，∴顶点，，，在由和确定的平面内．（1）当时，，故四边形为平行四边形；（2）当时，，故四边形是梯形．说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况．特别地，当时，，，，是空间四边形各边中点，以它们为顶点的四边形是平行四边形．如果再加上条件，这时，平行四边形是菱形．典型例题四例4已知是两条异面直线，直线上

4、的两点的距离为6，直线上的两点的距离为8，的中点分别为且，求异面直线所成的角．分析：解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线平行的两条相交直线，然后把它们归纳到某一三角形中求解．解：如图，连结，并取的中点，连结，∵分别是和的中位线，∴，，即，．∴所成的锐角或直角是异面直线所成的角．又∵，，∴，．在中，又∵，∴，∴．故异面直线所成的角是．说明：在求两条异面直线所成的角时，一般要依据已知条件，找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线．但是，异面直线所成角的定义中的点一般是在图形中存在着的，需要认真观察分析图形的性质，从而找出这一点和

5、过这一点与两异面直线平行的直线，以得到两条异面直线所成的角，在求这个角的大小时，一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的．典型例题五例5已知四面体的所有棱长均为．求：（1）异面直线的公垂线段及的长；（2）异面直线和所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：（1）如图，分别取的中点，连结．由已知，得≌．∴，是的中点，∴．同理可证∴是的公垂线段．在中，，．∴．（2）取的中点，连结，则．∴和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角．连结，在中，，，．由余弦定理，得．∴．故异面直

6、线和所成的角为．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6　如图所示，两个三角形和的对应顶点的连线、、交于同一点，且．(1)证明：，，；(2)求的值．分析：证两线平等当然可用平面几何的方法．而求面积之比则需证两个三角形相似，由于三角形是平面图形，故也可用平面几何的方法证明．证明：(1)当和在点两侧时，如图甲∵与相交于点，且，∴（因为、共面）．同理，．(2)∵，且，和，和的方向相反，∴，同理．因此，∽．又，∴．当和在点的同侧时，如图乙所示，同理可得(1)(2)．说明：此题与是否共面并不重要，

7、因为等角定理对各种位置已作说明．典型例题七例7　是矩形所在平面外一点，，，与成角，与成角，，求：(1)直线与的距离；(2)求直线与的距离．分析：要求出与、与的距离，必须找到它们的公垂线段，公垂线段的长度即为异面直线间的距离．解：如图所示，在矩形中，．∵，∴．又，∴是异面直线、的公垂线段，其长度为异面直线、的距离．在中，∵是与所成的角，∴．又，∴．(2)在矩形中，，，∴，又，∴是直线、的公垂线段，其长度为异面直线、的距离．在中，是异面直线与所成的角，∴．又，∴，∴直线与的距离为．说明：(1)求异面直线之间距离的步骤是：①找（作）线段；②证线段是公垂线段；

8、③求公垂线段的长度．(2)求异面直线间的距离的问题，高考中一般会给出公垂线段．典型例题八例8