2019-2020年高考数学复习《平面》典型例题

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1、2019-2020年高考数学复习《平面》典型例题例1三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（）．A．1B．2C．3D．1或3分析：本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图）：答案：D．说明：本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯．典型例题二例2　一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面．分析：先将已知和求证改写成符号语言．证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内．也可先由其中两条确定一个平面，另两条确定平面，再证平面，重

2、合．已知：，，，．求证：直线，，，共面．证明：∵，∴，确定一个平面．∵，，∴，，故．又∵，∴，确定一个平面．同理可证．∴，且．∵过两条相交直线，有且只有一个平面，故与重合即直线，，，共面．说明：本例是新教材第9页第9题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形．本例证明既采用了归一法，同时又采用了同一法．这两种方法是证明线共面问题的常用方法．在证明时，也可以用如下反证法证明：假设直线，则一定与相交，此时直线与内的所有直线都不会平行，这显然与矛盾．故．典型例题三例3已知在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于，，三点，证明，，三点在同一条直线上．分析：如图所示，欲证，，三点共线，只须证，，

3、在平面和平面的交线上，由，，都是两平面的公共点而得证．证明：∵，，∴是平面与平面的交线．又∵，∴且平面，∴，∴，，三点共线．说明：证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理2，这些点都在这两平面的交线上．典型例题四例4如图所示，与不在同一个平面内，如果三直线、、两两相交，证明：三直线、、交于一点．分析：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可．证明：由推论2，可设与，与，与分别确定平面，，．取，则，．又因，则（公理2），于是，故三直线、、共点．说明：空间中证三线共点有如下两种方法：（1）先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线

4、所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理2，该点在它们的交线上，从而得三线共点．（2）先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合．从而得三线共点．典型例题五（1）不共面的四点可以确定几个平面？（2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？（3）共点的三条直线可以确定几个平面？分析：（1）可利用公里3判定。（2）可利用公里3的推论3判定。（3）需进行分类讨论判定。解：（1）不共面的四点可以确定四个平面。（2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定3个平面。（3）共点的三条直线可以确定1个或3个平面。说明：判定平面的

5、个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，要做到不重不漏。平面的确定问题主要是根据已知条件和公里3及其3个推论来判定平面的个数。典型例题六例6　、、为空间三点，经过这三点：A．能确定一个平面　　　　　B．能确定无数个平面C．能确定一个或无数个平面　D．能确定一个平面或不能确定平面分析：本题考查空间确定平面的方法，解题的主要依据是公理3及三个推论．解：由于题设中所给的三点、、并没有指明这三点之间的位置关系，所以在应用公理3时要注意条件“不共线的三点”．当、、三点共线时，经过这三点就不能确定平面，当、、三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面，故选D．说明：空间确定一平面的方法有多种，既可以

6、根据不共线的三点来确定一个平面，又可以根据空间两相交直线或两平行直线来确定一个平面．典型例题七例7　判断题（答案正确的在括号内打“√”号，不正确的在括号内打“×”号）．(1)两条直线确定一个平面；（　　）(2)经过一点的三条直线可以确定一个平面；（　　）(3)两两相交的三条直线不共面；（　　）(4)不共面的四点中，任何三点不共线．（　　）分析：(1)两条直线能否确定平面，应注意这两条直线的位置关系，不给出位置关系则要分情况讨论，才可得出结论．两条相交直线可确定一个平面，两条平行直线可确定一个平面，除此以外的任何两条直线不能确定平面；(2)经过一点的两条直线可确定一个平面，三条直线不一

7、定能确定平面；(3)三条直线两两相交，若不共点时这三条直线必共面；(4)如果有三点共线，则此三点所在直线与第四点必同在某一平面内，即四点共面．解：(1)×　　(2)×　　(3)×　　(4)√．说明：由(3)题的分析过程可知：两两相交的三条直线有时共面有时不共面．那么对于空间四条直线何时共面何时不共面呢？典型例题八例8　如图，在正方体中，点、分别是棱、的中点，试画出过点、、三点的截面．分析：本题考查作多面体截面的能力，主要依据是公理1和公理2欲画出所要求的截