初一联赛班第2讲 数形结合——数轴与绝对值

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1、第2讲数形结合——数轴与绝对值【课程构架】【知识体系】运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合联系的有力工具，主要反映在：1.利用数轴形象地表示有理数；2.利用数轴直观地解释相反数；3.利用数轴解决与绝对值有关的问题；4.利用数轴比较有理数的大小。有理数与数轴的关系：1.一切有理数都可以用数轴上的点表示出来；2.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大；3.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；4.数轴上的点不都代表有理数，还可以代表无理数，如。绝对值是数学中的一个基本概念，这一概念是学习相反数、有理数运算、算术根的基础；绝

2、对值又是数学中的一个重要概念，绝对值与其他知识融合形成绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等，在代数式化简求值、解方程、解不等式等方面有广泛的应用。1.绝对值的概念：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作.2.绝对值的基本性质：①非负性：②注：（1）取绝对值是一种运算，运算符号是“”求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号；（2）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0；【热身训练】1．数轴上表示的点到原点的距离是（）A．B．C．D．2．的倒数一定是()A.B.C.D.3．已知都是负数，且，则是（）A．负数B．非负数C．正数D．非正数4．数轴上，点对应的数

3、是，点对应的点是，则两点之间的距离是（）A．1989B．1999C．2013D．20235．如果，那么的取值范围是（）A．B．C．D．6．的相反数是；（2）的相反数与的绝对值的和是；7．已知数轴上有两点，之间的距离为，点与原点的距离为，则点对应的数是8．与互为相反数，则的值为；9．是若，则__________；10．化简：11．有没有绝对值最小的有理数？有没有绝对值最大的有理数？一个数的绝对值的几何意义是什么？绝对值是本身的数有哪些？绝对值比本身大的数有哪些？【典型精讲】例1.如图所示，点分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一个点是原点，并且已知，数、位置如图，若，则原点

4、是（）A．或B．或C．或D．或1.1如图，数轴上分别对应数：、、、、；又有是介于与之间的两点。现要求在数轴上找一点，对应的数为，则点会落在（）A．线段上B．线段上C．线段上D．线段上1.2如图所示，数轴上四个点分别表示数，若，，，则（）A．7B．9C．11D．131.3把数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，…第段为个单位长度，点处有一个圆，圆上刻一指针，开始这针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方形滚动，当圆与点接触时，指针指向；当圆与2009接触时，指针指向；例1.（1）是若，则.（2）若，则；（3）已知，则2

5、.1（1）已知为整数，且满足，求的值.（2）已知都是整数，且，则；（3）若是6个不同的正整数，取值于，记，则的最小值是；2.2（1）为非零有理数，且，则的值等于多少？（2）如果，，，求的值.例1.（1）已知，在数轴上的位置如图所示，则的值为__________；（2）数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为__________；3.1（1）在数轴上的位置如图所示则代数式的值等于；（2）如果有理数在数轴上的位置如图所示，求的值.3.2（1）如果，那么等于；（2）若，则化简：；3.3（1）若，，，且，则化简（2）已知，求的值.例1.我们知道两数之间的距离可以用两数之差的绝对值来表

6、示，利用绝对值的该几何意义，探究以下问题（1）是否存在的值，使得的值等于？能否等于3？能否等于？若不能请说明理由，若能，写出的值；（2）若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为；（3）的最小值（4）的最小值4.1设，其中，对于满足的x来说，的最小值是多少？4.2设，当取不同的值时，的值也在变化，则是否存在最小值？若存在，请求出最小值，以及相应的取值（或取值范围）；若不存在请说明理由；【挑战探索】1.（1）设符号指两数中较大的数，试证明：；（2）设符号指两数中较小的数，试借助上题的思路，构造一个能表示的式子；（3）试判断的结果；