2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2

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1、2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二一、填空题（64分）1．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合．2．函数的值域为．3．设为正实数，，，则．4．如果，，那么的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的半径为．7．直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，，则点的坐标为．8．已知C，则数列中整数项的个数为．二、解答题（56分）9．（16分）设函数，实数满足，，求的值

2、．10．（20分）已知数列满足：R且，N．（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小．yxOPAB11．（20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方．（1）证明：△的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求△的面积．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二参考答案1．.提示：显然，在的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以，故，于是集合的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合．2．.提示：设，且，则．设，则，且，所以．3．-1.提示：由，得．又，即．①于是．②再由不等式①中等号成立的

3、条件，得．与②联立解得或故．4．.提示：不等式等价于.又是上的增函数，所以，故Z)．因为，所以的取值范围是．5．15000.提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有种方案；所以满足题设要求的方案数为．6．.提示：设四面体的外接球球心为，则在过△的外心且垂直于平面的垂线上．由题设知，△是正三角形，则点为△的中心．设分别为的中点，则在上，且，．因为，设与平面所成角为，可求得．ABCDOPMN在△中，．由余弦定理得，故．四边形的外接圆的直径．故球的半径．7．或．提示：设，由得，则，．又

4、，所以，．因为，所以，即有，即，即，即．显然，否则，则点在直线上，从而点与点或点重合．所以，解得．故所求点的坐标为或．8．15.提示：C．要使为整数，必有均为整数，从而．当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，和均为非负整数，所以为整数，共有14个．当时，C，在C中，中因数2的个数为，同理可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110，所以C中因数2的个数为，故是整数．当时，C，在C中，同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为，故不是整数．因此，整数项的个数为．9．因为，所以

5、，所以或，又因为，所以，所以．又由有意义知，从而，于是．所以．从而．又，所以，故．解得或（舍去）．把代入解得．所以，．10．（1）由原式变形得，则．记，则，．又，从而有，故，于是有．（2），显然在时恒有，故．11．（1）设直线：，．将代入中，化简整理得．于是有，．则，上式中，分子，从而，．又在直线的左上方，因此，的角平分线是平行于轴的直线，所以△的内切圆的圆心在直线上．（2）若时，结合（1）的结论可知．直线的方程为：，代入中，消去得．它的两根分别是和，所以，即．所以．同理可求得．所以．