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1、HLLYBQ整理供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org)”2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十命题人:南昌二中高三(01)班张阳阳一、选择题(36分)1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{an},设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…,则数列{bn}( )(A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列也非等比数列解析:(C). 由题设,an=a1qn-1,则 因此,{bn}是公比为q
2、3的等比数列.2.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式(
3、x
4、-1)2+(
5、y
6、-1)2<2的整点(x,y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)25解析:(A) 由(
7、x
8、-1)2+(
9、y
10、-1)2<2,可得(
11、x
12、-1,
13、y
14、-1)为(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0)或(-1,0).从而,不难得到(x,y)共有16个.3.若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,则( )(A)x-y≥0 (B)x+y
15、≥0 (C)x-y≤0 (D)x+y≤0解析:(B) 记f(t)=(log23)t-(log53)t,则f(t)在R上是严格增函数.原不等式即f(x)≥f(-y). 故x≥-y,即x+y≥0.·7·HLLYBQ整理供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org)”4.给定下列两个关于异面直线的命题:命题Ⅰ:若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线,直线c是α与β的交线,那么,c至多与a,b中的一条相交;命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。那么,( )(A)命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确
16、 (B)命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确(C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确解析:(D). 如图,c与a、b都相交;故命题Ⅰ不正确;又可以取无穷多个平行平面,在每个平面上取一条直线,且使这些直线两两不同向,则这些直线中的任意两条都是异面直线,从而命题Ⅱ也不正确.5.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场。那么,在上述3名选手之间比赛的场数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)
17、3解析:(B) 设这三名选手之间的比赛场数是r,共n名选手参赛.由题意,可得,即=44+r.由于0≤r≤3,经检验可知,仅当r=1时,n=13为正整数.6.已知点A(1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C,那么,△ABC是( )(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定解析:(C) 设B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1,则直线BC的方程为,化得2x-(s+t)y+2st=0. 由于直线BC过点(5,-2),故2×5-(s+t)(-2)+2st=
18、0,即(s+1)(t+1)=-4. 因此,. 所以,∠BAC=90°,从而△ABC是直角三角形.二、填空题(54分)·7·HLLYBQ整理供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org)”7.已知正整数n不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和,那么,这样的n的个数是___________.解析:6. 首项为a为的连续k个正整数之和为 . 由Sk≤2000,可得60≤k≤62. 当k=60时,Sk=60a+30×59,由Sk≤2000,可得a≤3,故Sk=1830,1890,1950; 当k=61时,Sk=
19、61a+30×61,由Sk≤2000,可得a≤2,故Sk=1891,1952; 当k=62时,Sk=62a+31×61,由Sk≤2000,可得a≤1,故Sk=1953. 于是,题中的n有6个.8.复数(12+5i)2(239-i)的辐角主值是_________.解析:. z的辐角主值 argz=arg[(12+5i)2(239-i)] =arg[(119+120i)(239-i)]=arg[28561+28561i]=.8.在△ABC中,记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2-19c2=0,则=__________.
20、解析:. ·7·HLLYBQ整理供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org)”10.已知点P在双曲线上,并且