2013年全国高校自主招生数学模拟试卷

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1、WORD格式-精品资料2013年全国高校自主招生数学模拟试卷命题人：南昌二中高三（01）班张阳阳一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC，若对任意t∈R，≥，则△ABC一定为A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不确定2．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为A．＜x＜1B．x＞且x≠1C．x＞1　D．0＜x＜13．已知集合A＝{x

2、5x－a≤0}，B＝{x

3、6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为A．20B．25C．30D．424．在直三棱柱A1B

4、1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为A．[，1)B．[，2)C．[1，)D．[，)5．设f(x)＝x3＋log2(x＋)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6．数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数的个数为A．(102006＋82006)B．(102006－82006

5、)C．102006＋82006D．102006－82006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是．8.若对一切θ∈R，复数z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为．9．已知椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x－y＋8＋2＝0上.当∠F1PF2取最大值时，比的值为．10．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需

6、要注水cm3．11．方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005的实数解的个数为．12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n≥2，设M0(x0，y0)是抛物线y2＝nx－1与直线y＝x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x，y)为抛物线y2＝kx－1与直线y＝x的一个交点．专业资料分享WORD格式-精品资料14．将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．

7、记S＝xixj．问：⑴当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；⑵进一步地，对任意1≤i，j≤5有≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值.说明理由．15．设f(x)＝x2＋a.记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，M＝{a∈R

8、对所有正整数n，≤2}．证明，M＝[－2，]．专业资料分享WORD格式-精品资料2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答C．解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D，由≥，推出　－2t·＋t2≥,令t

9、＝，代入上式，得－2cos2α＋cos2α≥，即sin2α≥,也即sinα≥．从而有≥．由此可得∠ACB＝．答B．解：因为，解得x＞且x≠1．由logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，Þlogx(2x3＋x2－x)＞logx2Þ或．解得0＜x＜1或x＞1．所以x的取值范围为x＞且x≠1．答C．解：5x－a≤0Þx≤；6x－b＞0Þx＞．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则，即所以数对(a，b)共有CC＝30个．答A．解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，)，

10、G(，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以＝(t1，－1，－)，＝(－，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜．又＝(t1，－t2，0)，＝＝＝，从而有≤＜1．答A．专业资料分享WORD格式-精品资料解：显然f(x)＝x3＋log2(x＋)为奇函数，且单调递增．于是若a＋b≥0，则a≥－b，有f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)＋f(b)≥0．反之，若f(a)＋f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出a≥－b，即a＋b≥0．答B．解：出现奇数个9的十进制数个数有

11、A＝C92005＋C92003＋…＋C9．又由于(9＋1)2006＝C92006－k以及(9－1)2006＝C(－1)k92006－k从而得A＝C92