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1、2013年全国高校自主招生数学模拟试卷五一.选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cosq=0有重根,则q的弧度数为()A.B.或C.或D.2.已知M={(x,y)
2、x2+2y2=3},N={(x,y)
3、y=mx+b}.若对于所有的m∈R,均有M∩N¹Æ,则b的取值范围是()A.[-,]B.(-,)C.(-,]D.[-,]3.不等式+logx3+2>0的解集为A.[2,3)B.(2,3]C.[2,4)D.(2,4]4.设点O在DABC的内部,且有+2+3=,则DABC的面积与DAOC的面积的比为()A.2B.C.3D.5
4、.设三位数n=,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有()A.45个B.81个C.165个D.216个6.顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长为()A.B.C.D.二.填空题(本题满分54分,每小题9分)7.在平面直角坐标系xOy中,函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=的图像所围成的封闭图形的面积是
5、;8.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(x)=;9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-BD1—A1的度数是;10.设p是给定的奇质数,正整数k使得也是一个正整数,则k=;11.已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且a0=3,则的值是;12.在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为;三.解答题(本题满分60分,每小题20分)13.一项“过关游
6、戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n,则算过关.问:⑴某人在这项游戏中最多能过几关?⑵他连过前三关的概率是多少?14.在平面直角坐标系xOy中,给定三点A(0,),B(-1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项.⑴求点P的轨迹方程;⑵若直线L经过DABC的内心(设为D),且与P点轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围.15.已知a,b是方程4x2-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数f(x)=的定义域为[a,b].⑴求g(t)=maxf(x)-minf(x);⑵证明:
7、对于ui∈(0,)(i=1,2,3),若sinu1+sinu2+sinu3=1,则++<.2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一.选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cotq=0有重根,则q的弧度数为()A.B.或C.或D.解:由方程有重根,故D=4cos2q-cotq=0,∵08、x2+2y2=3},N={(x,y)9、y=mx+b}.若对于所有的m∈R,均有M∩N¹Æ,则b的取值范围是()A.[-,]B.(-,)C.(-,]D.[-,]解:10、点(0,b)在椭圆内或椭圆上,Þ2b2≤3,Þb∈[-,].选A.3.不等式+logx3+2>0的解集为A.[2,3)B.(2,3]C.[2,4)D.(2,4]解:令log2x=t≥1时,>t-2.t∈[1,2),Þx∈[2,4),选C.4.设点O在DABC的内部,且有+2+3=,则DABC的面积与DAOC的面积的比为()A.2B.C.3D.解:如图,设DAOC=S,则DOC1D=3S,DOB1D=DOB1C1=3S,DAOB=DOBD=1.5S.DOBC=0.5S,ÞDABC=3S.选C.5.设三位数n=,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形11、,则这样的三位数n有()A.45个B.81个C.165个D.216个解:⑴等边三角形共9个;⑵等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为a,b),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,b12、面圆周上的
8、x2+2y2=3},N={(x,y)9、y=mx+b}.若对于所有的m∈R,均有M∩N¹Æ,则b的取值范围是()A.[-,]B.(-,)C.(-,]D.[-,]解:10、点(0,b)在椭圆内或椭圆上,Þ2b2≤3,Þb∈[-,].选A.3.不等式+logx3+2>0的解集为A.[2,3)B.(2,3]C.[2,4)D.(2,4]解:令log2x=t≥1时,>t-2.t∈[1,2),Þx∈[2,4),选C.4.设点O在DABC的内部,且有+2+3=,则DABC的面积与DAOC的面积的比为()A.2B.C.3D.解:如图,设DAOC=S,则DOC1D=3S,DOB1D=DOB1C1=3S,DAOB=DOBD=1.5S.DOBC=0.5S,ÞDABC=3S.选C.5.设三位数n=,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形11、,则这样的三位数n有()A.45个B.81个C.165个D.216个解:⑴等边三角形共9个;⑵等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为a,b),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,b12、面圆周上的
8、x2+2y2=3},N={(x,y)
9、y=mx+b}.若对于所有的m∈R,均有M∩N¹Æ,则b的取值范围是()A.[-,]B.(-,)C.(-,]D.[-,]解:
10、点(0,b)在椭圆内或椭圆上,Þ2b2≤3,Þb∈[-,].选A.3.不等式+logx3+2>0的解集为A.[2,3)B.(2,3]C.[2,4)D.(2,4]解:令log2x=t≥1时,>t-2.t∈[1,2),Þx∈[2,4),选C.4.设点O在DABC的内部,且有+2+3=,则DABC的面积与DAOC的面积的比为()A.2B.C.3D.解:如图,设DAOC=S,则DOC1D=3S,DOB1D=DOB1C1=3S,DAOB=DOBD=1.5S.DOBC=0.5S,ÞDABC=3S.选C.5.设三位数n=,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形
11、,则这样的三位数n有()A.45个B.81个C.165个D.216个解:⑴等边三角形共9个;⑵等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为a,b),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三角形,而以大数为底时,b12、面圆周上的
12、面圆周上的
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