2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2

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1、2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二一、填空题(64分)1.设集合,若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为,则集合.2.函数的值域为.3.设为正实数,,,则.4.如果,,那么的取值范围是.5.现安排7名同学去参加5个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数为.(用数字作答)6.在四面体中,已知,,,则四面体的外接球的半径为.7.直线与抛物线交于两点,为抛物线上的一点,,则点的坐标为.8.已知C,则数列中整数项的个数为.二、解答题(56分)9.(16分)设函数,实数满足,,求的值

2、.10.(20分)已知数列满足:R且,N.(1)求数列的通项公式;(2)若,试比较与的大小.yxOPAB11.(20分)作斜率为的直线与椭圆:交于两点(如图所示),且在直线的左上方.(1)证明:△的内切圆的圆心在一条定直线上;(2)若,求△的面积.2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二参考答案1..提示:显然,在的所有三元子集中,每个元素均出现了3次,所以,故,于是集合的四个元素分别为5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0,5-8=-3,因此,集合.2..提示:设,且,则.设,则,且,所以.3.-1.提示:由,得.又,即.①于是.②再由不等式①中等号成立的

3、条件,得.与②联立解得或故.4..提示:不等式等价于.又是上的增函数,所以,故Z).因为,所以的取值范围是.5.15000.提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形:(1)有一个项目有3人参加,共有种方案;(2)有两个项目各有2人参加,共有种方案;所以满足题设要求的方案数为.6..提示:设四面体的外接球球心为,则在过△的外心且垂直于平面的垂线上.由题设知,△是正三角形,则点为△的中心.设分别为的中点,则在上,且,.因为,设与平面所成角为,可求得.ABCDOPMN在△中,.由余弦定理得,故.四边形的外接圆的直径.故球的半径.7.或.提示:设,由得,则,.又

4、,所以,.因为,所以,即有,即,即,即.显然,否则,则点在直线上,从而点与点或点重合.所以,解得.故所求点的坐标为或.8.15.提示:C.要使为整数,必有均为整数,从而.当2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时,和均为非负整数,所以为整数,共有14个.当时,C,在C中,中因数2的个数为,同理可计算得中因数2的个数为82,中因数2的个数为110,所以C中因数2的个数为,故是整数.当时,C,在C中,同样可求得中因数2的个数为88,中因数2的个数为105,故C中因数2的个数为,故不是整数.因此,整数项的个数为.9.因为,所以

5、,所以或,又因为,所以,所以.又由有意义知,从而,于是.所以.从而.又,所以,故.解得或(舍去).把代入解得.所以,.10.(1)由原式变形得,则.记,则,.又,从而有,故,于是有.(2),显然在时恒有,故.11.(1)设直线:,.将代入中,化简整理得.于是有,.则,上式中,分子,从而,.又在直线的左上方,因此,的角平分线是平行于轴的直线,所以△的内切圆的圆心在直线上.(2)若时,结合(1)的结论可知.直线的方程为:,代入中,消去得.它的两根分别是和,所以,即.所以.同理可求得.所以.

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