2019-2020年人教A版高中数学 选修2-1 3-2-3空间向量与空间角 3-2-4空间向量与空间距离 教案

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1、2019-2020年人教A版高中数学选修2-13-2-3空间向量与空间角3-2-4空间向量与空间距离教案（一）教学目标1.知识与技能：掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题2.过程与方法：通过分析、推导让学生掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题。3.情感、态度与价值观：通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量，会用空间想像思维解决生活中实际问题。（二）教学重点与难点重点：掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题难点：掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题问题

2、1：在空间中，用空间向量解决立体几何的步骤？　　问题2：空间中的距离有多少种？用空间向量如何解决？今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些角度的应用．点题：今天我们学习“用空间向量方法求角度问题”活动二：师生交流、进入新知问题3：回忆立体几何中有那些空间角？求空间角有那些步骤？1异面直线所成的角范围0°＜θ≤90°方法①平移法；②补形法2直线与平面所成的角范围0°≤θ≤90°方法关键是作垂线，找射影3二面角方法①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法4、空间角的计算步骤一作、

3、二证、三算问题4：想一想平面向量中两个向量的数量积的定义呢？a·b＝

4、a

5、

6、b

7、cos＜a,b＞或cos＜a,b＞＝，可求两个向量的数量积或夹角问题；新课：三种空间角的向量法计算公式：⑴线线角：异面直线所成的角：；⑵线面角：直线与平面(法向量)所成的角：；⑶二面角：锐二面角：，其中为两个面的法向量。活动三：合作学习、探究新知利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。（1）异面直线、所成的角：在空间中任取一点O，过点O分别引∥，∥，则，所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。两条异面直线所成角的范围

8、：。求法：①把两条异面直线中的一条放入一个平面，另一条与这个平面有交点，过这个交点在平面内作第一条的平行线，则这两条直线所成的角为两条异面直线所成的角。然后解三角形得到。②运用向量：在直线上取两点A、B，在直线上取两点C、D，若直线与的夹角为，则。例1、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.求异面直接PD与BC所成角的余弦值；解法一：平面，，又，由平面几何知识得：（Ⅰ）过做交于于，

9、连结，则或其补角为异面直线与所成的角，四边形是等腰梯形，，，，又，四边形是平行四边形。，是的中点，且，又，为直角三角形，在中，由余弦定理得故异面直线PD与所成的角的余弦值为解法二：平面，，又，，由平面几何知识得：以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，（1），，。若与所成的角为，则。故直线与所成的角的余弦值为（2）直线与平面角：斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影所成的锐角。直线与平面所成角的范围为：。求法：①求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过

10、斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用三棱锥体积等量来求出斜线上一点到平面的距离。②运用向量：设是平面的法向量，A、B是直线上的点，如果直线与平面所成的角为，则。例2：如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=，∠VDC=。当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；ADBCVxyz解：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设直线与平面所成的角为，平面的一

11、个法向量为，则由．得可取，又，于是，，，．又，．即直线与平面所成角的取值范围为．（3）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形，叫二面角。二面角的范围为。求二面角大小：①找出二面角的平面角，然后利用解三角形来求出。②利用面积射影定理。③运用向量：从相交棱上一点（或两点）出发，找与相交棱方向向量垂直的两个向量、，则、这两个向量所成的角的大小等于二面角的大小。ABCDEA1B1C1例3：如图，在直三棱柱中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的

12、大小．解：（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．ABCDEA1B1C1Ozxy设，则，，，，设分的比为，则，而，，，由，，所以，;又，，。由，，知，即二面角A1－AD－C1的大小为。活动四：归纳整理、提高认识1．在空间中，角度有几种情况？　　2．如何用空间向量求各种角度？3.2.4空间向量与空间距离（一）教学目标1.知识与技能：掌握空间立体几何中用向量方法求距离问题。2.过程与方法：通过分析、推导让学生