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1、1.Black-Scholes公式经典的Black-Scholes期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。其公式为其中T是到期时间，S是当前股价，是作为当前股价和到期时间的函数的欧式买入期权的价格.第九章期权定价公式及其应用一、引言第一节Black-Scholes期权定价公式K是期权的执行价格，r是无风险证券的（瞬时）收益率，称为股价的波动率{volatility,这是一个需要测算的参数}称为累积正态分布函数，定义为图1期权价格曲线随到期时间T的变化Black-Scholes公式的方便之处在于除股价的波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的。例如,如果这里价格以元计,时间以年计,从而涉及的
2、两个比率都指的是年率。那么（以下的等号实际上都是近似等号）把这些值代入公式，得到:利用累积正态函数在点2.8017和2.7267处的近似值，买入期权的价格是3.3749，即更精确的计算可得:2.金融资产的定价问题金融资产的定价问题(assetvaluation)是现代财务金融理论的一个基本问题。对于具有固定现金流的金融产品、如债券等金融工具，其价格都是通过净现值方法来确定的。对于期权来讲，其风险究竟有多大?如何计算出相应的风险溢价以及未来的现金流?这都是较为难解决的问题。3.Black-Scholes公式发展过程(1)巴列切尔公式(Bachelier1900)n是标准正态分布的密度函数法国数
3、学家Bachelier·Louis,在其博士论文《TheTheoryofSpeculation》中首次给出了欧式买权的定价公式但他在建立模型时有3个假设与现实不符。第一，假设标的股票的价格服从标准正态分布。这使得股价出现负值的概率大于零，从而与现实明显不符。第二，认为在离到期日足够远的时候,买权的价值可能大于标的股票的价值，这显然也是不可能的。第三，假设股票的期望报酬(即股价变化的平均值)为零，这也违背了股票市场的实际情况。(2)斯普伦克莱(Sprenkle,1961)在Bachelier的研究基础上,人们对期权定价问题进行了长期的研究。1961年Sprenkle提出了“股票价格服从对数正态
4、分布”的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。是股票价格的平均增长率，A是对应的风险厌恶程度。其中(3)博内斯(Boness,1964)其中，1964年，Boness将货币时间价值的概念引入到期权定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平的差异。(4)塞缪尔森(Samuelson,1965)其中是期权价格的平均增长率。1965年，著名经济学家萨缪尔森(Samuelson)把上述成果统一在一个模型中。在1973年Black和Scholes提出Black—Scholes期权定价模型.我们可以看到，所有这些公式都与后来的Black-Scholes公式有许多相似的地方。1969年，他又与
5、其研究生Merton合作，提出了把期权价格作为标的股票价格的函数的思想。20世纪60年代末，两人开始合作研究期权的定价问题,并找到了建立期权定价模型的关键突破点,即构造一个由标的股票和无风险债券的适当组合(买入适当数量的标的股票,同时按无风险利率借入适当金额的现金)。该组合具有这样的特点,即无论未来标的资产价格如何变化,其损益特征都能够完全再现期权在到期日的损益特征。Black和Scholes得到了描述期权价格变化所满足的随机偏微分方程，即所谓的B—S方程。从而得出了期权定价模型的解析解,这就是B—S模型。Merton也对期权定价理论和实践的发展做出了独立的和开创性的贡献,他几乎在与Blac
6、k和Scholes同一时间,得到了期权定价模型及其他一些重要的成果。1976年，Merton把B—S期权定价模型推广到股票价格变化可能存在跳跃点的场合,并包含了标的股票连续支付股利的情况，从而把该模型的实用性又大大推进了一步，学术界将其称为Merton模型。另外Cox，Ross和Rubinstein等人还提出了二项式期权定价模型。他们最初的动机是以该模型为基础，从而为推导B-S模型提供一种比较简单和直观的方法。但是,随着研究的不断深入，二项式模型不再是仅仅作为解释B-S模型的一种辅助性工具,它已经成为建立复杂期权（如美式期权和非标准的变异期权）定价模型的基本手段。二、Black-Schole
7、s期权定价公式（一）基本假设：1.股票价格满足的随机微分方程中,,为常数;2.股票市场允许卖空;3.没有交易费用或税收;4.所有证券都是无限可分的;5.证券在有效期内没有红利支付;6.不存在无风险套利机会;7.交易是连续的;8.无风险利率为常数.(二)股票价格的轨道在通常情况下，假设股票价格St满足下列随机微分方程：为概率空间上的Brownian运动（1)(三)期权套期保值寻找期权定价公式（函数）的主要思
