2019届九年级数学下册 小专题（四）二次函数与几何图形综合练习 （新版）湘教版

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1、小专题(四)　二次函数与几何图形综合1．如图，抛物线y＝x2＋x－5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C.若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标．解：令y＝x2＋x－5＝0，即x2＋2x－15＝0，解得x1＝－5，x2＝3.∴A(－5，0)，B(3，0)．∴AB＝8.令x＝0，则y＝－5，∴C(0，－5)．∴OC＝5.∴S△ABC＝AB·OC＝20.设点E到AB的距离为h，∵S△ABE＝S△ABC，∴×8·h＝20.∴h＝5.∵点E在x轴下方，∴点E的纵坐标为－5.当y＝－5时，x2＋x－5＝－5.∴x1＝－2，x

2、2＝0(与点C重合，舍去)．∴E(－2，－5)．2．如图，抛物线y＝－x2＋x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：令y＝－x2＋x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－2.∴点A的坐标为(－2，0)．连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点．设直线AD的表达式为y＝kx＋t.将点A，D的坐标代入，得解得∴直线AD的表达式为y＝x＋1.∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝，将x＝代入y＝x＋1，得y＝.∴点P的坐标

3、为(，)．3．如图，二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y＝－x＋b经过点B，且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为P，交BD于点M，求MN的最大值．解：(1)∵二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，∴解得∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3.(2)∵y＝－x＋b经过点B，∴－×1＋b＝0.解得b＝.∴y＝－x＋.设M(t，－t＋)，则N(t，－t2－2t＋3)，∴MN＝－t2－

4、2t＋3－(－t＋)＝－t2－t＋＝－(t＋)2＋.∴MN的最大值为.4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2－4x－5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标．解：令y＝x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5.∴A(－1，0)，B(5，0)．令x＝0，则y＝－5，∴C(0，－5)．∴OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∴AB＝6，BC＝5.要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，需有＝或＝.①当＝时，CD＝AB＝6，∴D(0，1)．②当＝时，＝，∴

5、CD＝.∴D(0，)．综上，点D的坐标为(0，1)或(0，)．5．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为P.若以A，C，P，M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．解：y＝－x2－2x＋3中，当x＝0时，y＝3，∴C(0，3)．y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，即－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.∴A(－3，0)，B(1，0)．∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点P的坐标为(－1，4)．如图，分别过△PAC的三个顶点作对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点M1，M2

6、，M3.∵AM1∥CP，且C(0，3)，P(－1，4)，A(－3，0)，∴M1(－4，1)．∵AM2∥PC，且P(－1，4)，C(0，3)，A(－3，0)，∴M2(－2，－1)．∵CM3∥AP，且A(－3，0)，P(－1，4)，C(0，3)，∴M3(2，7)．综上所述，点M的坐标为(－4，1)或(－2，－1)或(2，7)．6．如图，已知抛物线y＝x2－x－2与x轴交于A，B两点(点A在点B的右边)，与y轴交于点C.(1)求点A，B，C的坐标；(2)此抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△ACP是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

7、．解：(1)令y＝0，得x2－x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝4.∴A(4，0)，B(－2，0)．令x＝0，得y＝－2.∴C(0，－2)．(2)存在点P，使得△ACP是等腰三角形．设P(1，a)，则AP2＝a2＋9，CP2＝(a＋2)2＋1＝a2＋4a＋5，AC2＝20.①当AP＝CP时，即a2＋9＝a2＋4a＋5，解得a＝1.∴P1(1，1)；②当CP＝AC时，即a2＋4a＋5＝20，解得a＝－2±.∴P2(1，－2＋)，P3(1，－2－)；③当AP＝AC时，即a2＋9＝20，解得a＝±.∴P4(1，)，P5(1，－)．综上所述，满足条件的点P的

8、坐标为P1(1，1)，P2(1，－2＋)，P3(1，－2－)，P4(1，)，P5(1，－)．