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时间:2019-11-08
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1、2019-2020年高三数学二轮复习专题一第5讲导数及其应用教案自主学习导引真题感悟1.(xx·辽宁)函数y=x2-lnx的单调递减区间为A.(-1,1] B.(0,1]C.[1,+∞) D.(0,+∞)解析 根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解.由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由y′=x-≤0,解得0<x≤1,所以函数的单调递减区间为(0,1].答案 B2.(xx·安徽)设函数f(x)=aex++b(a>0).(1)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))
2、处的切线方程为y=x,求a、b的值.解析 (1)f′(x)=aex-,当f′(x)>0,即x>-lna时,f(x)在(-lna,+∞)上递增;当f′(x)<0,即x<-lna时,f(x)在(-∞,-lna)上递减.①当0<a<1时,-lna>0,f(x)在(0,-lna)上递减,在(-lna,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(-lna)=2+b;②当a≥1时,-lna≤0,f(x)在[0,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=a++b.(2)依题意f′(2)=ae2-=,解
3、得ae2=2或ae2=-(舍去),所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=,故a=,b=.考题分析在每年的高考命题中都有导数应用的解答题出现,是高考试题的压轴题,难度较大,主要考查函数的单调性、极值、最值及根据单调性、极值、最值等确定参数的值或范围,解题的方法也是灵活多样,但导数的工具性都会有很突出的体现.网络构建高频考点突破考点一:利用导数研究函数的单调性【例1】(xx·临沂模拟)已知函数f(x)=,其中a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在原点处的切线方程;(2)求f(x)的单调区间.[审题导引] (1
4、)直接根据导数的几何意义解决;(2)根据函数的结构特点,函数f(x)的导数应是一个分式,但分式的分母符号确定,其分子是一个多项式,所以讨论函数的单调性等价于讨论这个分子多项式的符号.[规范解答] (1)当a=1时,f(x)=,f′(x)=-2.由f′(0)=2,得曲线y=f(x)在原点处的切线方程是2x-y=0.(2)f′(x)=-2.①当a=0时,f′(x)=.所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.当a≠0,f′(x)=-2a.②当a>0时,令f′(x)=0,得x1=-a,x2=,f(x)与
5、f′(x)的情况如下:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)-0+0-f(x)↘f(x1)↗f(x2)↘故f(x)的单调减区间是(-∞,-a),;单调增区间是.③当a<0时,f(x)与f′(x)的情况如下:x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗f(x2)↘f(x1)↗所以f(x)的单调增区间是,(-a,+∞);单调减区间是.综上,a>0时,f(x)在(-∞,-a),单调递减;在单调递增.a=0时,f(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递
6、减;a<0时,f(x)在,(-a,+∞)单调递增;在单调递减.【规律总结】函数的导数在其单调性研究的作用(1)当函数在一个指定的区间内单调时,需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零),当函数在一个区间内不单调时,这个函数的导数在这个区间内一定变号,如果导数的图象是连续的曲线,这个导数在这个区间内一定存在变号的零点,可以把问题转化为对函数零点的研究.(2)根据函数的导数研究函数的单调性,在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论,这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行,其次要根据
7、函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行,如果这样的点不止一个,则要根据字母参数在不同范围内取值时,导数等于零的根的大小关系进行分类讨论,最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论.[易错提示] 在利用“若函数f(x)单调递增,则f′(x)≥0”求参数的范围时,注意不要漏掉“等号”.【变式训练】1.(xx·临川五月模拟)已知函数f(x)=+lnx.(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;(2)讨论函数f(x)的单调性.解析 (1)∵f(x)=+lnx,∴f′(x)=(a>0).∵函数f(x)
8、在[1,+∞)上为增函数,∴f′(x)=≥0对x∈[1,+∞)恒成立,ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立,即a≥对x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1.(2)∵a≠0,f′(x)==,x>0,当a<0时,f′(x)>0对x∈(0,+∞)恒成立,∴f(x)的增区间为(0,+∞),当a>0时,f′(x)>0⇒x>,f′(x)<0⇒x<,
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