2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第3讲 直线与圆锥曲线教案

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1、2019-2020年高三数学二轮复习专题五第3讲直线与圆锥曲线教案自主学习导引真题感悟1.(xx·陕西)已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A、B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.解析 (1)由已知可设椭圆C2的方程为+=1(a>2),其离心率为,故=,解得a=4.故椭圆C2的方程为+=1.(2)解法一 A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可

2、设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以x=.将y=kx代入+=1中,得(4+k2)x2=16,所以x=.又由=2,得x=4x,即=,解得k=±1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.解法二 A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以x=.由=2,得x=,y=.将x,y代入+=1中,得=1,即4+k2=1+4k2,解得

3、k=±1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.2.(xx·福建)如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.解析 (1)依题意,

4、OB

5、=8,∠BOy=30°.设B(x,y),则x=

6、OB

7、sin30°=4,y=

8、OB

9、cos30°=12.因为点B(4,12)在x2=2py上,所以(4)2=2p×12,解得p=2.故抛物线E的方程为x2=4y.(2)证明 证法

10、一 由(1)知y=x2,y′=x.设P(x0,y0),则x0≠0,y0=x,且l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x.由得所以Q为.设M(0,y1),令·=0对满足y0=x(x0≠0)的x0,y0恒成立.由于=(x0,y0-y1),=,由·=0,得-y0-y0y1+y1+y=0,即(y+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式对满足y0=x(x0≠0)的y0恒成立,所以解得y1=1.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).证法二 由(1)知y=x2,y′=x.设P(x0,y0),则x0≠0

11、,y0=x,且l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-x.由得所以Q为.取x0=2,此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为(x-1)2+y2=2,交y轴于点M1(0,1)、M2(0,-1);取x0=1,此时P,Q,以PQ为直径的圆为2+2=,交y轴于点M3(0,1)、M4.故若满足条件的点M存在,只能是M(0,1).以下证明点M(0,1)就是所要求的点.因为=(x0,y0-1),=,所以·=-2y0+2=2y0-2-2y0+2=0.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).考题分析直线与圆锥曲

12、线的综合应用往往是高考的压轴试题,具体表现为弦长与面积问题,最值与范围问题、定点与定值问题、存在性问题等,运算量一般较大,有一定的难度,多以解答题的形式出现.网络构建高频考点突破考点一:圆锥曲线中的弦长问题【例1】(xx·荆州模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)右顶点与右焦点的距离为-1,短轴长为2.(1)求椭圆的方程;(2)过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点,若三角形OAB的面积为,求直线AB的方程.[审题导引] (1)利用相关的几何性质求得a、b、c,可求椭圆方程;(2)设出直线的方程,利用弦长公式得到三角形OAB面

13、积的表达式并解出直线的斜率,可得直线方程.[规范解答] (1)由题意,解得a=,c=1.即椭圆方程为+=1.(2)当直线AB与x轴垂直时,

14、AB

15、=,此时S△AOB=不符合题意,故舍掉;当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为:y=k(x+1),代入消去y得:(2+3k2)x2+6k2x+(3k2-6)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,所以

16、AB

17、=.原点到直线的AB距离d=,所以三角形的面积S=

18、AB

19、d=·.由S=⇒k2=2⇒k=±,所以直线lAB:x-y+=0或lAB:x+y+=0.【规律总结】弦长问

20、题的解决方法(1)弦长问题涉及直线与二次曲线的两个交点坐标,此时一般不是求出两个点的坐标,而是设出这两个点的坐标,根据直线方程和曲线方程联立后的方程根的情况,使用根与系数的关系进行整体代入,这是解决弦长问题以及其他直线与二次曲线问题的最基本方法.(2)注意使用弦长公式

21、AB

22、=

23、x1-x2

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