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1、第5章ARMA模型应用一、ARMA模型概述二、随机时间序列的特征分析三、模型的识别与建立四、模型的预测五、随机时间序列模型的检验一、ARMA模型概述ARMA模型是一种常用的随机性时间序列模型，由BoX、Jenkins创立，亦称为B-J方法，它是一种精度较高的短期预测方法。ARMA模型包括：自回归模型AR(p)、移动平均模型MA(q)、自回归移动平均模型ARMA(p,q)。随机过程概念及其数字特征例：将一个物体的长度进行多次精密测量，可以得到一串数(单位：mm)：74.5274.5474.49如果再进行另一批测量，又得到另一串数：74.5374.5174.50进行一系列测量所得到的各串数
2、一般是不同的，这是由于测量的各种随机因素引起了随机误差。第一批测量的第一个值74.52，第二次测量的第一个值74.53等等，可以看着某随机变量X1所取的值；一般，对于每批测量的第i个值，可以看着随机变量Xi所取的值。X1,X2,…,Xn,…称为随机序列。74.5274.5474.49,…称为随机序列的现实。我们知道，要刻画一个随机变量的统计特征，主要有均值、方差等。要刻画随机过程{Xt,t∈T}主要统计特征，也要考虑其数字特征，主要有均值函数、方差函数、自协方差函数、自相关函数等。1.均值函数给定随机过程{Xt,t∈T}，固定t,Xt是一个随机变量，设其均值为μt=E(Xt)称为随机过
3、程的均值函数。μt表示随机过程Xt在各个时刻的摆动中心，t变化时，μt刻画了随机过程Xt变化的平均趋势。2.方差函数与标准差函数固定t，设Xt的方差为σt2，σt2=E[(Xt-μt)2]称为随机过程Xt的方差函数。它刻画了随机过程对于均值μt的偏离程度。3.自协方差函数与自相关函数对于随机过程Xt，取定t,s∈T，定义其自协方差函数为γt,s=Cov(Xt,Xs)=E[(Xt-μt)(Xs-μs)]刻画了随机过程Xt在时刻t和时刻s处取值的相关程度。自相关函数如果随机序列Xt满足下列条件：(1)均值E(Xt)=是与时间t无关的常数；(2)方差Var(Xt)=2是与时间t无关的常数
4、；(3)协方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数； 则称该随机时间序列是平稳的设平稳序列{εt}的自协方差函数γk，k=0时为常数σ2，k不为0时，γk=0，则称{εt}为平稳白噪声序列，即平稳白噪声序列的方差是常数，且对任意两个不同时点之间是不相关的。平稳白噪声是最基本的一种平稳序列。1、AR(p)模型考虑p阶自回归模型AR(p)AR(p)的特征方程可以证明，如果该特征方程的所有根在单位圆外（根的模大于1），则AR(p)模型是平稳的。2、MA(q)模型有限阶移动平均模型总是平稳的。当滞后期大于q时，X的自协方差系数为0。3、ARMA(p,q)模型A
5、RMA(p,q)平稳性取决于AR(p)的平稳性。当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，否则，不是平稳的。三、随机时间序列的特性分析所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（ACF）及偏自相关函数（PACF）。所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（ACF）及偏自相关函数（PACF）。要想对时间序列建立一个适当的模型，必须对该序列的特点有所了解。一般地，可以从时间序列的随机性、平稳性和季节性三方面考虑。1.时序的随机性如果一个时间序列是纯随机序列，意味着序列没有任何规律性，序列诸项之间不相关，即序列为白噪声序列，其自相关函数应该与0没有显著差异。在Eviews中，如果
6、几乎所有自相关系数都落入随机区间，可认为该序列是纯随机的。2.平稳性在Eviews中，如果序列的自相关系数很快地趋于0，即落入随机区间，则时序是平稳的，否则非平稳的。在B-J方法中，只有平稳的时间序列才能直接建立ARMA模型，否则必须经过适当处理使序列满足平稳性的要求。在现实中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序列通过差分可以平稳。如果原序列非平稳，经过d阶差分后平稳，则原序列模型可以表示为ARMA(p,d,q)模型。一般地，差分阶数不超过2.3.时序的季节性判断时序季节性的标准是：月度数据考察滞后期k=12,24,36,…时点自相关系数是否与0有显著的差异。若自相关系数与0无显著
7、性差异，序列不存在季节性，否则存在季节性。实际问题中常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况，这时必须事先剔除序列趋势性，再用上述方法识别序列的季节性。包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型，须进行季节性差分消除序列的季节性，差分步长应与季节周期一致。一般地，如果序列经过D阶周期长度为s的差分，季节性基本消除，建立的模型为ARMA(p,d,q)(P,D,Q)s.其中P为季节自回归阶数，Q是季节移动平均阶数。3.时间序列模型的识别所谓随机时间
