江苏高考数学一轮复习《直线与圆的位置关系》 教程学案

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1、第45课　直线与圆的位置关系(2)1.能利用直线与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆的简单综合问题.2.掌握处理直线与圆的综合性问题的基本方法.3.领悟并基本掌握“等价转化”“数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简捷的运算途径.1.阅读：必修2第115～117页.2.解悟：①进一步熟悉直线方程与圆的方程及其相互关系；②过圆上一点作圆的切线，有几条？能否写出圆的切线方程？若是过圆外一点呢？③研究直线与圆的位置关系，一般有哪些方法？④定点、定值问题有哪些基本方法？3.践习：在教材空白处，完成必修2第128页复习题第12、14题，第129页复习题第26题.　基础诊断　1.由直线y＝x＋1上的一

2、点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为　　.解析：由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，当直线上的点到圆心的距离最小，即圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.因为圆心到直线的距离为＝2，所以切线长最小为＝.2.过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为　1或　Ｗ.解析：将圆的方程化为标准方程得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心为(1，1)，半径为r＝1.又因为弦长为，所以圆心到直线l的距离d＝＝.因为直线l的斜率存在，设为k，所以直线l：y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，所以＝，解得k＝1或k

3、＝，故直线l的斜率为1或.3.已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcosθ＋ysinθ＝1，设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则实数k＝　4　Ｗ.10解析：因为圆O：x2＋y2＝5，所以圆心O(0，0)，半径r＝.因为圆心O到直线l的距离d＝＝1<，且r－d＝－1>1，所以圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为4，即k＝4.4.已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2，0)，B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是　(－∞，－)∪(，＋∞)　.解析：由题意知过点A的圆的切线方程的斜率存在，则设切线方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，则

4、圆心到切线的距离d＝＝1，解得k＝±，所以过点A的圆的切线方程为y＝±(x＋2).当x＝3时，y＝±，所以所求的a的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞).　范例导航　考向❶直线与圆相交的弦的问题例1　已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点.(1)当直线l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程；(3)当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长.解析：(1)因为圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1，0)，直线l经过两点P，C，所以直线l的斜率为k＝＝2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)

5、当弦AB被点P平分时，l⊥PC，所以直线l的方程为y－2＝－(x－2)，即x＋2y－6＝0.(3)当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0，则圆心C(1，0)到直线l的距离为.又圆的半径为3，所以弦AB＝.已知圆x2＋y2＝8内一点P(－1，2)，过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A，B两点.10(1)若α＝，则AB＝　　；(2)若弦AB被点P平分时，则直线l的方程为　x－2y＋5＝0　Ｗ.解析：(1)因为α＝，所以kAB＝－1，所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，所以圆心O(0，0)到AB的距离d＝＝，则AB＝2＝.解析：(

6、2)因为弦AB被点P平分，所以OP⊥AB.又因为kOP＝－2，所以kAB＝，所以直线l：y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.考向❷定点、定值问题例2　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD.(1)若AC＝4，求直线CD的方程；(2)求证：△OCD的外接圆恒过定点.(异于原点O)解析：(1)因为A(－3，4)，所以OA＝＝5.因为AC＝4，所以OC＝1，所以C.由BD＝4，得D(5，0)，所以直线CD的斜率为＝－，所以直线CD的方程为y＝－(x－5)，即x＋7y－5＝0.(2)设C(－3m，4m)(0

7、，则OC＝5m，则AC＝OA－OC＝5－5m.10因为AC＝BD，所以OD＝OB－BD＝5m＋4，所以点D的坐标为(5m＋4，0).又设△OCD的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则有解得D＝－(5m＋4)，F＝0，E＝－10m－3，所以△OCD的外接圆的方程为x2＋y2－(5m＋4)x－(10m＋3)y＝0，整理得x2＋y2－4x－3y－5m(x＋2y)＝0.令得(舍)或所以△OCD