江苏高考数学一轮复习《三角函数综合问题 》教程学案

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1、____第32课__三角函数综合问题____1.能灵活运用三角函数公式进行化简、求值、求取值范围等．2.能综合应用函数、方程、不等式等知识解决与三角函数相关的问题.1.阅读：必修4第103～122页；必修5第5～16页．2.解悟：①三角函数中的同角三角函数关系，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角公式；②解三角形中的正余弦定理，三角形的面积公式；③重解必修4第109页例3，体会辅助角公式的应用；第110页例5，体会整体代换思想；第116页例5，这是三角函数应用题中的一个重要模型，体会角的拆

2、分与合成；第121页例3，体会降幂扩角公式．3.践习：在教材空白处完成必修4第109页练习第8题；第111页练习第5题；第116页练习第4、5、6题；第117页练习第5题.　基础诊断　1.若α是三角形的一个内角，且sinαcosα＝，则cosα＋sinα的值为____．解析：因为α是三角形的一个内角，且sinαcosα＝，所以α为锐角，所以cosα＋sinα＝＝.2.已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝__－__．解析：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，平方相加

3、得sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＋cos2α＋2cosαsinβ＋sin2β＝1，所以2sin(α＋β)＝－1，sin(α＋β)＝－.3.已知角α，β，γ构成公差为的等差数列，若cosβ＝－，则cosα＋cosγ＝__－__．解析：因为α，β，γ构成公差为的等差数列，所以α＝β－，γ＝β＋，所以cosα＋cosγ＝cos＋cos＝2cosβcos＝－.4.在锐角三角形ABC中，若tanA＝t＋1，tanB＝t－1，则实数t的取值范围是__(，＋9∞)__．解析：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以ta

4、nC＝－tan(A＋B)＝－＝.因为△ABC为锐角三角形，所以tanA>0，tanB>0，tanC>0，即解得t>.　范例导航　考向❶三角恒等变换与解三角形例1　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝，b＝，求△ABC的面积．解析：(1)由2cosAcosC(tanAtanC－1)＝1得2(sinAsinC－cosAcosC)＝1，即cos(A＋C)＝－，所以cosB＝－cos(A＋C)＝.又0

5、2)由余弦定理得cosB＝＝，所以＝.又a＋c＝，b＝，所以－2ac－3＝ac，即ac＝，所以S△ABC＝acsinB＝××＝.【变式1】若本题(2)条件变为“若b＝，S△ABC＝”，求a＋c的值．9解析：由已知S△ABC＝acsinB＝，所以ac×＝，则ac＝6.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－3ac，所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝21，所以a＋c＝.【变式2】在本例条件下，若b＝，求△ABC面积的最大值．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，则3＝a

6、2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤3(当且仅当a＝c＝时取等号)，所以S△ABC＝acsinB≤×3×sin＝.故△ABC面积的最大值为.在△ABC中，已知tanA＝，tanB＝.(1)求角C的大小；(2)若△ABC的最大边长为，求最小边长．解析：(1)因为A＋B＋C＝π，所以tanC＝－tan(A＋B)＝－＝－＝－1.因为0

7、nA＝，由＝得BC＝sinA·＝，所以最小的边长为.【注】本例训练三角函数基本关系、正余弦定理及两角和与差公式的简单综合运用，注意三角形基本知识的运用.考向❷三角函数与解三角形　例2　已知函数f(x)＝sinωxsin－(ω>0)，且其图象的相邻对称轴间的距离为.(1)求f(x)在区间上的值域；(2)在锐角三角形ABC中，若f＝，a＝1，b＋c＝2，求△ABC的面积．解析：(1)f(x)＝sinωx(sinωx＋cosωx)－＝sin2ωx＋sinωxcosωx－＝(1－cos2ωx)＋sin2ωx－＝sin2ωx

8、－cos2ωx＝sin.由条件知T＝.又T＝，所以ω＝2，所以f(x)＝sin.因为x∈，9所以4x－∈，所以sin∈，所以f(x)的值域是[－，]．(2)由f＝得A＝.由a＝1，b＋c＝2及余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得bc＝1，所以△ABC的面积S＝bcsinA＝.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b2＋c2－a2＝bc.