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《第6章常微分方程的数值解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第6章常微分方程的数值解法6.1引言包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中,自变量的个数只有一个,称为常微分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方
2、程是不可能给出解析解。譬如这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来表达它的解。再如，方程的解,虽然有表可查,但对于表上没有给出的值,仍需插值方法来计算从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主要依靠数值解法来解决。本章主要讨论一阶常微分方程初值问题(6.1)在区间a≤x≤b上的数值解法。可以证明,如果函数在带形区域R=a≤x≤b,-∞＜y＜∞}内连续，且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L(它与x,y无关)使对R内任意两个都成立,则方程(6.1)的解在a,b上存在且唯一。6.2数值方法的基本思想对常
3、微分方程初值问题(6.1)式的数值解法，就是要算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节点处的函数值的近似值。相邻两个节点的间距称为步长，步长可以相等，也可以不等。本章总是假定h为定数，称为定步长，这时节点可表示为数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值解。对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数值解法有两个基本特点，它们都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进，描述这类算法，要求给出用已知信息计算的递推公式。建立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值积分、数值
4、微分、泰勒展开等离散化方法，对初值问题中的导数进行不同的离散化处理。对于初值问题的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是计算yi+1时只用到xi+1,xi和yi，即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以外，还要用到，即前面k步的值，此类方法称为多步法；其代表是亚当斯法。6.3欧拉（Euler）法6.3.1Euler公式欧拉（Euler）方法是解初值问题的最
5、简单的数值方法。初值问题的解y=y(x)代表通过点的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点的切线的斜率等于函数在这点的值。Euler法的求解过程是:从初始点P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线y=y(x)在P0点上切线(其斜率为),与x=x1直线相交于P1点(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值,如上图所示。过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线方程为当时,得这样就获得了P1点的坐标。同样,过点P1(x1,y1),作积分曲线y=y(x)的切线交直线x=x2于P2点,切线的斜率=直线方程
6、为当时,得当时,得由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的点:P0,P1,…,Pn。对已求得点以=为斜率作直线取从图形上看,就获得了一条近似于曲线y=y(x)的折线。这样,从x0逐个算出对应的数值解通常取(常数),则Euler法的计算格式i=0,1,…,n(6.2)还可用数值微分、数值积分法和泰勒展开法推导Euler格式。以数值积分为例进行推导。将方程的两端在区间上积分得，选择不同的计算方法计算上式的积分项,就会得到不同的计算公式。(6.3)用左矩形方法计算积分项代入(6.3)式,并用yi近似代替式中y(xi)即
7、可得到向前欧拉（Euler）公式由于数值积分的矩形方法精度很低，所以欧拉（Euler）公式当然很粗糙。例6.1用欧拉法解初值问题取步长h=0.2,计算过程保留4位小数解:h=0.2,欧拉迭代格式当k=0,x1=0.2时，已知x0=0，y0=1，有y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8当k=1,x2=0.4时，已知x1=0.2，y1=0.8，有y(0.4)y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144当k=2,x3=0.6时，已知x2=0.4，y2=0.6144，有y(0.6)y3=0.2×0.6
8、144×(4-0.4×0.6144)=0.46136.3.2梯形公式为了提高精度,对方程的两端在区间上积分得，改用梯形方法计算其积分项，即(6.4)代入(6.4)式,并用近似代替式中即可得到梯形公式(6.5)由于数值积分的梯形公式比矩形公式的精度高，因此梯形公式（6.5）比欧拉公式(6.2
