列车售餐问题——数学建模

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1、列车售餐问题1摘要：列车上的服务方处于垄断地位，有着得天独厚的优势，让食品以高出市场价售出很容易。价格越高利润自然越大，但乘客有一个承受的上限，超过这一上限，随着价格的继续提高，就会有越来越多的乘客放弃购买，相应地服务方所获得的总的利润就会随之发生变化。在本模型中，我们选供需双方为一个系统，站在供者的角度研究怎样使得售价乘需求量减成本，即,使销售效益最大化的问题2问题重述：长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许

2、咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。3问题分析：价格增长利润增加同时导致要求购买的人数下降；价格降低利润减小同时导致要求

3、购买的人数上升；存在最优的价格使得列车上的东西全都售出同时获得最大效益；这是一个优化问题，关键在找到最优的价格。4问题假设：1）盒饭价格每增加1元，就会有20个人选择放弃购买,即b1=20;2）方便面价格每增加1元，就会有36个人选择放弃购买,即b2=36;3）因为500人有在车上买饭的要求，假设早餐能提供500份；4）早餐的价格每增加1元，就会有30个人选择放弃购买,即b3=30;5）各餐饮市场上的价格作为这里的成本价,即q1=10元（盒饭），q2=3元（方便面），q3=5元（早餐）；6）销量x依赖于价格p,x(p)是减函数进一步设:x(p)=a–bp,a,b

4、>0；5符号说明：q：以各餐饮市场上的价格作为这里的成本价，即食物的成本价；p：食物所卖的价格；a：绝对需求(p很小时的需求)，即价格最低时的购买人数；b：价格上升1元时购买人数的下降幅度（需求对价格的敏感度）；I：收入；U：利润；C：支出；x：需要购买某食物的人数；相应的下标1，2，3分别表示早餐，盒饭，方便面;例如：x1,x2,x3分别表示购买盒饭，方便面，早餐的人数；6模型建立与求解：采用先统一再分开的算法；收入I(p)=px;支出C(p)=qx;利润U(p)=I(p)–C(p);求p使U(p)最大；使利润U(p)最大的最优价格p*满足U(p)=I(p)–

5、C(p)=(p–q)(a–bp)=-bpp+(a+bq)p-aq因为q/2~成本的一半；b~价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）b®p*¯a~绝对需求(p很小时的需求)a®p*7对于盒饭：由假设可知：q1=10,b1=20；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；所以：a1=500;购买人数x1=500–20p1;由p*=q/2+a/2*b可得：p*=q1/2+a1/2*b1=10/2+500/2*20=17.5;由500–20*17.5=150<200;此时不能直接用公式；由500–20p1>=200得到p1<=15;所

6、以取得最大利润时p1=15;8同理可得方便面：q2=3,b2=36；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人，此时还剩下300人需求方便面；所以，a2=300,购买人数x=300–36p2;由p*=q/2+a/2*b可得：p*=q2/2+a2/2*b2=3/2+300/2*36=6.3;由300–36*6.3=73<100;此时也不能直接用公式由300–36*p2>=100;得到p2<=5.5由U（p）=-bpp+(a+bq)p–aq可知：当U（p)取最大值时，p2=5.5;9同理可得早餐：q3=5,b3=30；因为500人有在车上买饭的要

7、求，以：a1=500;购买人数x1=500–30p3;因为供应量不受约束，所以可以直接用公式：由p*=q/2+a/2*b可得：p*=q3/2+a3/2*b3=5/2+500/2*30=11.5;所以取得最大利润时p1=11.5;10结果分析与检验:1）盒饭、方便面、早餐的价格分别为15元、5.5元、11.5元；1)通过计算各价格都没有超出市场价格的3倍，并且能使所提供（早餐除外）的卖完.并从中获取最大的效益；2)算出的这些结果，消费者应当能够接受的；3)该模型算出的价格跟列车的实际价格相差不多，说明它是合理的；4)该模型中的建模与求解的过程已对它检验过了，深入地

8、检验有待实践去完成；11