高中数学第1章简单的逻辑联结词（不作要求）1.3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定讲义苏教版

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1、1.2　简单的逻辑联结词(不作要求)1.3　全称量词与存在量词1.3.1　量词1.3.2　含有一个量词的命题的否定学习目标核心素养1.理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词和存在量词叙述简单的数学内容．(重点)2.能判定全称命题和存在性命题的真假．(难点)3.了解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(易错点)1.通过对含有量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．2.借助含量词的命题的真假求参数问题，提升数学运算素养.1．全称量词和全称命题全称量词“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量

2、词符号表示∀全称命题含有全称量词的命题称为全称命题符号表示∀x∈M，p(x)2．存在量词和存在性命题存在量词“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词符号表示∃存在性命题含有存在量词的命题称为存在性命题符号表示∃x∈M，p(x)思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在性命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是存在性命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．[提示]　(1)是存在性命题，可改写为“∃x∈R，使ax2＋2x＋

3、1＝0”(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．3．全称命题和存在性命题的否定1．下列命题中为全称命题的是(　　)A．至少有一个自然数是2的倍数B．存在小于零的整数C．方程3x＝2有实数根D．无理数是小数D　[D中“无理数”指的是所有的无理数．]2．下列语句是存在性命题的是(　　)A．整数n是2和7的倍数B．存在整数n，使n能被11整除C．x＞7D．∀x∈M，p(x)成立B　[B选项中有存在量词“存在”，故B项是存在性命题，A和C不是命题，D是全称命题．]3．下列四个命题中的真命题为(　　)A．∃x∈Z

4、,1<4x<3B．∃x∈Z,5x＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2>0D　[当x∈R时，x2＋x＋2＝2＋>0，故选D.]4．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则命题p的否定是________．∃x∈R，sinx＞1　[命题p是全称命题，其否定应为存在性命题，即綈p：∃x∈R，sinx＞1.]两种命题的概念及真假判断【例1】　指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使＝0；(3)能被5整除的整数末位数是0；(4)有一个角α，使sinα>1[解]　(1)是全

5、称命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在性命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．(4)是存在性命题，因为∀α∈R，sinα∈[－1,1]，所以该命题是假命题．1．判断命题是全称命题还是存在性命题的方法(1)分析命题中是否含有量词；(2)分析量词是全称量词还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．2．全称命题与存在性命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证

6、明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定存在性命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．1．(1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是(　　)A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2B　[A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是存在性命题又是真命题；

7、C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．](2)下列命题中，真命题是(　　)A．∃x∈，sinx＋cosx≥2B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1C．∃x∈R，x2＋x＝－1D．∀x∈，tanx>sinxB　[(1)对于选项A，sinx＋cosx＝sin≤，∴此命题不成立；对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，∴此命题成立；对于选项C，x2＋x＋1＝2＋>0，∴x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，∴此命题不成立；对于选项D，当x∈时，tanx<0，sinx>0，命

8、题显然不成立．故选B.]含有一个量词的命题的否定【例2】　(1)命题“∀x∈R，x2≠x”的否