2019_2020学年高中数学第4章定积分章末复习课学案北师大版

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1、第4章定积分定积分的计算【例1】　求下列定积分．.思路探究：(1)可用定积分的几何意义求解；(2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解．[解]　(1)dx表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积．其面积为×π×22＝2π，∴dx＝2π.(2)∵＝求定积分的三种方法1．利用定义求定积分．步骤：(1)分割区间；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限．2．利用定积分的几何意义求定积分．3．利用微积分基本定理求定积分．如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即F′(x)＝f(x)，则有＝F(b)－F(a)．1．计算下列定积分．(1)dx；(2)(cosx＋2x

2、)dx.[解]　(1)∵dx＝dx＝[lnx－ln(x＋1)]＝ln.(2)(cosx＋2x)dx＝＝2＋(2－2).用定积分求平面图形的面积【例2】　求由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成的平面图形的面积．思路探究：→→→[解]　画出草图，如图所示．所求平面图形为图中阴影部分．解方程组得交点A(1,5)，B(4,20)．故所求平面图形的面积S＝(x2＋4－5x)dx＋(5x－x2－4)dx＝＋＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4＝.定积分在求平面图形面积中的应用及注意由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用．求

3、解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解．2．求由曲线y＝及直线y＝x，y＝3所围成的平面图形的面积．[解]　画出曲线y＝(在第一象限)，直线y＝x，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．画得故A；由得或(舍去)，故B；由得故C.用定积分求几何体的体积【例3】　求曲线y＝sinx，x∈[0，π]与x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得到旋转体的体积．[解]　由体积公式V＝πy2dx＝π(sinx)2dx＝πsin2xdx＝πdx＝π＝＝＝(π－0)＝.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积．如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等．计算由曲线y＝f(x

4、)，直线x＝a，x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积为V＝3．半椭圆＋＝1(y≥0)绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为(　　)A．　　　　　　　　B．πC．5πD．6πA　[V＝π·2dx＝2π·＝π.]数形结合思想的应用【例4】　如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小．思路探究：确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值．[解]　S1的面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴，直线x＝t围成的面积．即S1＝t·t2－x2dx＝t3；S2的

5、面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝，易知当t＝时，S最小，所以最小值为S＝.数形结合在求定积分中的应用数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积．在做题前首先要画出图形，确定图形是在x轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．4．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x

6、2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．[解]　抛物线y＝x－x2与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围成图形的面积为S＝(x－x2)dx＝＝－＝.抛物线y＝x－x2与直线y＝kx交点的横坐标分别为x1′＝0，x2′＝1－k，所以＝(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3，又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－＝1－.