2019_2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数3.1.1实数系3.1.2复数的概念讲义新人教B版

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1、3.1.1　实数系3.1.2　复数的概念学习目标核心素养1．了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．(重点)2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．(重点、难点)3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．(易混点)通过复数的概念学习，提升学生的数学抽象素养.一、复数的概念及分类1．数系的扩充及对应的集合符号表示→→→→↓　　　　↓　　　　↓　　　　↓　　↓N――――→Z―――――→Q――――→R―――→C2．复数的有关概念3．复数的分类(2)集合表示二、两个复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi

2、a，b∈R}中，任

3、取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．(　　)(3)bi是纯虚数．(　　)(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是___

4、_______．[解析]　当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．[答案]　③3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为________．[解析]　∵(x＋y)i＝x－1，∴∴x＝1，y＝－1．[答案]　1　－1复数的概念【例1】　(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)A．0　　　　　　　　B．1C．2D．3(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b

5、的值分别是__________．(3)下列命题正确的是__________(填序号)．①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③实数集的补集是虚数集．[解析]　(1)复数的平方不一定大于0，故①错；2i－1的虚部为2，故②错；2i的实部是0，③正确，故选B.(2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．③由复数集的分类知，③正确

6、，是真命题．[答案]　(1)B　(2)±，5　(3)③判断与复数有关的命题是否正确的方法1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．1．下列命题中是假命题的是(　　)A．自然数集是非负整数集B．实数集与复数集的交集为实数集C．实数集与虚数集的交集是{0}D．纯虚数集与实数集的交集为空集[解析]　复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与

7、虚数集没有公共元素，C是假命题．[答案]　C复数的分类【例2】　(1)复数z＝a2－b2＋(a＋

8、a

9、)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是(　　)A．

10、a

11、＝

12、b

13、B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠bD．a>0且a＝±b(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，①z为实数？　②z为虚数？　③z为纯虚数？[思路探究]　依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．[解析]　(1)要使复数z为纯虚数，则∴a>0，a＝±b.故选D.[答案]　D(2)①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.②要使z为虚数，需满足

14、m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？[解]　复数z为实数的充要条件是a＋

15、a

16、＝0，即

17、a

18、＝－a，所以a≤0.利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.复数相等的充要条件[探究问题]1．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？提示：因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚

19、数，所以a