2019_2020学年高中数学第2章数列2.3.3等比数列的前n项和等比数列前n项和的性质及应用讲义苏教版

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1、第2课时　等比数列前n项和的性质及应用学习目标核心素养1.掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点)2.掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点)3.能用分组转化方法求数列的和．(重点、易错点)1.通过等比数列前n项和公式的函数特征的学习，体现了逻辑推理素养.2.借助等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培养学生的数学运算素养.1．等比数列前n项和的变式当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由

2、关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．2．等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q.②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．思考：在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，如何求S6

3、的值？[提示]　S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80＝140.1．设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋

4、a2

5、＋a3＋

6、a4

7、＝________.15　[法一：a1＋

8、a2

9、＋a3＋

10、a4

11、＝1＋

12、1×(－2)

13、＋1×(－2)2＋

14、1×(－2)3

15、＝15.法二：因为a1＋

16、a2

17、＋a3＋

18、a4

19、＝

20、a1

21、＋

22、a2

23、＋

24、a3

25、＋

26、a4

27、，数列{

28、an

29、}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为＝15.]2．已知数列{an}为等比数列，且

30、前n项和S3＝3，S6＝27，则公比q＝________.2　[q3＝＝＝8，所以q＝2.]3．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.(－2)n－1　[当n＝1时，S1＝a1＋，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an＋－＝(an－an－1)，所以an＝－2an－1，即＝－2，所以{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，所以an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.]4．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an

31、－1·anan＋1＝324，则n＝________.14　[设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14.]等比数列前n项和公式的函数特征应用【例1】　已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，则数列{an}(　　)A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．是等差数列或等比数列D．既非等差数列，也非等比数列B　[当n≥2时，

32、an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1；当n＝1时，a1＝a－1，满足上式．∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*.∴＝a，∴数列{an}是等比数列．]1．已知Sn通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1.2．若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.－　[显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.]等比数列前n项和性质的应

33、用[探究问题]1．在等差数列中，我们知道Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等差数列．在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列吗？为什么？[提示]　Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn，∴Sm＝a1＋a2＋…＋am，S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm.同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…，在Sm≠0时

34、，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．2．若数列{an}为项数为偶数的等比数列，且S奇＝a1＋a3＋a5＋…，S偶＝a2＋a4＋a6＋…，那么等于何值？[提示]　由等比数列的通项公式可知＝＝q.【例2】　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　)A．28　　B．32　　C．21　　D．28或－21(2)等比数列{an}