2.3.3等比数列的前n项和

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1、数列求和学习目标：1．掌握一些数列常见的求和方法，如倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、奇偶分析法等．(重点、难点)2．在求和过程中，体会转化与化归思想的应用．3．错位相减时的项数计算．(易错点)[基础·初探]教材整理　数列求和的方法阅读教材P55～P57，P62第12题，第13题，P68第13题，完成下列问题．1．分组求和法若cn＝an＋bn，{an}，{bn}，{cn}前n项和分别为An，Bn，Cn，则Cn＝An＋Bn，以此可以对数列{an}分组求和．2．错位相减法求和设数列{an}为等比数列且公比q≠1，则Sn＝a1＋a

2、1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.两式相减，(1－q)Sn＝a1(1－qn)，∴Sn＝(q≠1)．这种求和的方法叫错位相减法．3．裂项相消法求和将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们求和的过程中出现相同的项，且这些相同的项能够相互抵消，从而达到将求n个数的和的问题转化为求少数的几项的和的目的．这种求和的方法叫裂项相消法．4．数列{an}的an与Sn的关系：数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝1．若an＝，则数列{an}的前10项和S10＝.【解析】　∵

3、an＝＝－，∴S10＝＋＋…＋＝.【答案】　2．数列1，2，3，4，…的前n项和是．【解析】　Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋1－.【答案】　＋1－[小组合作型分组求和　求和：Sn＝＋＋…＋.【精彩点拨】　先分析通项an＝＝x2n＋＋2，再分组求和，注意x的取值范围．【自主解答】　当x≠±1时，Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋＝＋＋2n＝＋2n；当x＝±1时，Sn＝4n.综上知，Sn＝分组求和法的求和策略有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将其每一项拆开，可分为几个等差、等比或常数列，然后分别求和，

4、再将其合并即可．像这种数列求和方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是将通项变形．[再练一题]1．已知数列1＋1，＋4，＋7，…，＋3n－2，…，求其前n项的和．【解】　设Sn＝(1＋1)＋＋＋…＋将其每一项拆开再重新组合得，Sn＝＋(1＋4＋7＋…＋3n－2)，当a＝1时，Sn＝n＋＝；当a≠1时Sn＝＋＝＋.错位相减法求和　已知数列{an}，a1＝1，an＝2·3n－2(n≥2)，求数列{nan}的前n项和Tn.【精彩点拨】　利用错位相减法求Tn，但本题需注意n的范围．【自主解答】　Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan.当n＝1时，

5、T1＝1；当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2，①3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1，②①－②得：－2Tn＝1＋(4－3)＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1＝2＋2·－2n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1，∴Tn＝＋(n≥2)又∵T1＝a1＝1也满足上式，∴Tn＝＋(n∈N*)．1．若cn＝an·bn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则{cn}的前n项和可用错位相减法求得．2．用错位相减法求和时应注意：①两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个等比数列求和．②注意

6、两式相减后所得式子第一项后是加号，最后一项前面是减号．[再练一题]2．求数列的前n项和Sn.【解】　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，①Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，②①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－n×＝－n×＝1－－n×，∴Sn＝2－－.裂项相消法求和　求和：＋＋＋…＋，n≥2.【精彩点拨】　由＝＝逐项裂项相消求和．【自主解答】　∵＝＝，∴原式＝＝＝－.1．裂项相消法的裂项方法(1)＝；(2)若{an}为等差数列，公差为d，则＝；(3)＝－.2．如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)

7、的形式，常采用裂项相消法求和．[再练一题]3．求和：1＋＋＋…＋.【解】　∵＝＝2，∴原式＝2＝2＝.探究1　如何求数列{(－1)n}的前n项的和？【提示】　分n为奇、偶数两类分别求数列{(－1)n}的和．探究2　若数列{an}的前n项和为Sn，则an与Sn间存在怎样的关系？如何由Sn求通项an?【提示】　由Sn＝a1＋a2＋…＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又a1＝S1，∴an＝　已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的

8、通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.【精彩点拨】　(1)由S＝S1S4列出关于a1的方程，求a1，从而求出an.(2)对bn进行裂项，并对n为奇数和偶数分类求