2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积（第1课时）数量积的定义讲义苏教版必修4

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1、第1课时　数量积的定义学习目标核心素养(教师独具)1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点)2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.一、向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

6、a

7、·

8、b

9、cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考1：两个向量的数量积是向量吗？[提示]　两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．思考2：

10、数量积的大小和符号与哪些量有关？[提示]　数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定．二、两个向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，如图所示．作＝a，＝b，则∠AOB称为向量a与b的夹角．2．范围：0°≤θ≤180°.3．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．4．当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.思考3：把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？[提示]　角．三、向量的数量积的运算律及性质1．向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a

11、·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．数量积的性质：(1)a·a＝

12、a

13、2或

14、a

15、＝；(2)

16、a·b

17、≤

18、a

19、

20、b

21、；(3)a⊥b⇒a·b＝0.3．数量积的几何意义：a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度

22、a

23、与b在a的方向上的投影

24、b

25、cosθ的乘积．思考4：向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？[提示]　向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量．思考5：向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？[提示]　不一定相同．1．已知

26、a

27、＝3，

28、b

29、＝6，则(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；(2)若a与b的

30、夹角为60°，则a·b＝________；(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.(1)18　(2)9　(3)0　[(1)a·b＝

31、a

32、

33、b

34、cos0°＝

35、a

36、

37、b

38、＝18.(2)a·b＝

39、a

40、

41、b

42、cos60°＝3×6×＝＝9.(3)a·b＝

43、a

44、

45、b

46、cos90°＝3×6×0＝0.]2．试指出图中向量的夹角，图①中向量与的夹角________；图②中向量与的夹角________；图③中向量与的夹角________；图④中向量与的夹角________．[答案]　θ　0°　180°　θ3．已知

47、a

48、＝3，

49、b

50、＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为____

51、____；b与a上的投影为________．　　[a在b上的投影为

52、a

53、cos45°＝3×＝；b在a上的投影为

54、b

55、cos45°＝5×＝.]向量数量积的运算及几何意义【例1】　已知

56、a

57、＝2，

58、b

59、＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．思路点拨：借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．[解]　(1)a·b＝

60、a

61、

62、b

63、cos120°＝2×3×＝－3.(2)a2－b2＝

64、a

65、2－

66、b

67、2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2

68、a

69、2＋5

70、a

71、

72、b

73、cos120°－3

74、b

75、2＝

76、8－15－27＝－34.1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求

77、a

78、和

79、b

80、；③求数量积，即a·b＝

81、a

82、

83、b

84、cosθ.要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．1．已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)·；(2)·；(3)·.[解]　(1)∵与的夹角为60°，∴·＝

85、

86、

87、

88、cos60°＝1×1×＝.(2)∵与的夹角为120°，∴·＝

89、

90、

91、

92、cos120°＝1×1×＝－.(3)∵与的夹角为60°，∴·＝

93、

94、

95、

96、cos60°＝1×1×＝

97、.求向量的模【例2】　已知向量＝a，＝b，∠AOB＝60°，且

98、a

99、＝

100、b

101、＝4.求

102、a＋b

103、，

104、a－b

105、，

106、3a＋b

107、.思路点拨：根据已知条件将向量的模利用

108、a

109、＝转化为数量积的运算求解．[解]　∵a·b＝

110、a

111、·

112、b

113、cos∠AOB＝4×4×＝8，∴

114、a＋b

115、＝＝＝＝4，

116、a－b

117、＝＝＝＝4，

118、3a＋b

119、＝＝＝＝4.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝

120、a

121、2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b