资源描述:
《2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积(第1课时)数量积的定义讲义苏教版必修4》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1课时 数量积的定义学习目标核心素养(教师独具)1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念.(易错点)2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.(重点)3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.(难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.一、向量的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量
2、a
3、
4、b
5、cosθ叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=
6、a
7、·
8、b
9、cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为0.思考1:两个向量的数量积是向量吗?[提示] 两个向量的数量积是一个数量,而不是向量.思考2:
10、数量积的大小和符号与哪些量有关?[提示] 数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关,符号由夹角的余弦值决定.二、两个向量的夹角1.定义:已知两个非零向量a,b,如图所示.作=a,=b,则∠AOB称为向量a与b的夹角.2.范围:0°≤θ≤180°.3.当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.4.当θ=90°时,则称向量a与b垂直,记作a⊥b.思考3:把两个非零向量的起点移至同一点,那么这两个向量构成的图形是什么?[提示] 角.三、向量的数量积的运算律及性质1.向量数量积的运算律:已知向量a,b,c和实数λ.(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a
11、·b)=λa·b;(3)(a+b)·c=a·c+b·c.2.数量积的性质:(1)a·a=
12、a
13、2或
14、a
15、=;(2)
16、a·b
17、≤
18、a
19、
20、b
21、;(3)a⊥b⇒a·b=0.3.数量积的几何意义:a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度
22、a
23、与b在a的方向上的投影
24、b
25、cosθ的乘积.思考4:向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别?[提示] 向量线性运算结果是向量,而数量积运算结果是数量.思考5:向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗?[提示] 不一定相同.1.已知
26、a
27、=3,
28、b
29、=6,则(1)若a与b夹角为0°,则a·b=________;(2)若a与b的
30、夹角为60°,则a·b=________;(3)若a与b的夹角为90°,则a·b=________.(1)18 (2)9 (3)0 [(1)a·b=
31、a
32、
33、b
34、cos0°=
35、a
36、
37、b
38、=18.(2)a·b=
39、a
40、
41、b
42、cos60°=3×6×==9.(3)a·b=
43、a
44、
45、b
46、cos90°=3×6×0=0.]2.试指出图中向量的夹角,图①中向量与的夹角________;图②中向量与的夹角________;图③中向量与的夹角________;图④中向量与的夹角________.[答案] θ 0° 180° θ3.已知
47、a
48、=3,
49、b
50、=5,a与b的夹角为45°,则a在b上的投影为____
51、____;b与a上的投影为________. [a在b上的投影为
52、a
53、cos45°=3×=;b在a上的投影为
54、b
55、cos45°=5×=.]向量数量积的运算及几何意义【例1】 已知
56、a
57、=2,
58、b
59、=3,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).思路点拨:借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3).[解] (1)a·b=
60、a
61、
62、b
63、cos120°=2×3×=-3.(2)a2-b2=
64、a
65、2-
66、b
67、2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2
68、a
69、2+5
70、a
71、
72、b
73、cos120°-3
74、b
75、2=
76、8-15-27=-34.1.求平面向量数量积的步骤:①求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];②分别求
77、a
78、和
79、b
80、;③求数量积,即a·b=
81、a
82、
83、b
84、cosθ.要特别注意书写时,a与b之间用实心圆点“·”连结,而不能用“×”连结,也不能省去.2.较复杂的数量积的运算,需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简.1.已知正三角形ABC的边长为1,求:(1)·;(2)·;(3)·.[解] (1)∵与的夹角为60°,∴·=
85、
86、
87、
88、cos60°=1×1×=.(2)∵与的夹角为120°,∴·=
89、
90、
91、
92、cos120°=1×1×=-.(3)∵与的夹角为60°,∴·=
93、
94、
95、
96、cos60°=1×1×=
97、.求向量的模【例2】 已知向量=a,=b,∠AOB=60°,且
98、a
99、=
100、b
101、=4.求
102、a+b
103、,
104、a-b
105、,
106、3a+b
107、.思路点拨:根据已知条件将向量的模利用
108、a
109、=转化为数量积的运算求解.[解] ∵a·b=
110、a
111、·
112、b
113、cos∠AOB=4×4×=8,∴
114、a+b
115、====4,
116、a-b
117、====4,
118、3a+b
119、====4.1.求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,要灵活应用a2=
120、a
121、2,勿忘记开方.2.一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b