2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积第2课时数量积的坐标表示讲义苏教版必修4.docx

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1、第2课时　数量积的坐标表示学习目标核心素养(教师独具)1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．(重点)2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式．(重点)3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、平面向量数量积的坐标运算若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．二、向量的长度、夹角、垂直的坐标表示1．向量的模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即

2、a

3、

4、＝.2．向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cosθ＝＝.特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.思考：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量的模？[提示]　∵＝－＝(x2－x1，y2－y1)，∴

5、

6、＝.1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝(　　)A．1　　　　B．－1　　　　C．5　　　　D．－5B　[∵a＝(1，－1)，b＝(2,3)，∴a·b＝1×2－3＝－1.]2．已知a＝(－2，x)，b＝(0,1)，若a·b＝3，则x＝________.3　[∵a

7、＝(－2，x)，b＝(0,1)，∴a·b＝x＝3.]3．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则

8、a

9、＝________，a与b的夹角为________．5　　[∵a·b＝－15，

10、a

11、＝＝5，

12、b

13、＝3，∴cosθ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝.]4．已知a＝(3,1)，b＝(x，－5)，若a⊥b，则x＝________.　[∵a⊥b，∴a·b＝0，∴3x－5＝0，∴x＝.]数量积的坐标运算【例1】　已知a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a＋b)；(3)(a·b)·c.思路点拨：先求相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解．

14、[解]　(1)a·b＝1×2＋3×5＝17.(2)∵a＋b＝(3,8)，2a＋b＝(4,11)，∴(a＋b)·(2a＋b)＝12＋88＝100.(3)(a·b)·c＝17c＝(34,17)．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.1．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.[解]　(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2

15、)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a·(b·c)＝0·a＝0，(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．向量的夹角【例2】　已知A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值．思路点拨：先求，，再代入向量夹角公式求∠BAC的余弦值．[解]　∵＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，·＝3×(－1)＋3×6＝15.又

16、

17、＝＝3，

18、

19、＝＝，∴cos∠BAC＝＝＝.已知a，b的坐标求夹角时，应先求出a，b及

20、a

21、，

22、b

23、，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(2，－

24、4)，

25、c

26、＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为________．120°　[∵a·b＝－10，∴(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，∴c·a＝－.设a与c的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.]向量平行与垂直的综合应用[探究问题]1．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则其坐标间满足什么等量关系？a⊥b呢？提示：a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.2．在△ABC中，已知点A，B，C的坐标，如何用向量法求BC边上的高的大小？提示：设高AD交边BC于点D，由B，D，C三点共线及·＝0可求点

27、D的坐标，进而可求

28、

29、.【例3】　已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求

30、

31、与点D的坐标．思路点拨：设D(x，y)，由＝λ及·＝0可求D，进而求

32、

33、.[解]　设点D坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，∵D在直线BC上，即与共线，∴存在实数λ，使＝λ，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，∴∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴·＝0，