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《2019_2020学年高中数学第2章平面向量2.4向量的数量积第2课时数量积的坐标表示讲义苏教版必修4.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 数量积的坐标表示学习目标核心素养(教师独具)1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.(重点)2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式.(重点)3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、平面向量数量积的坐标运算若两个向量为a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.二、向量的长度、夹角、垂直的坐标表示1.向量的模:设a=(x,y),则a2=x2+y2,即
2、a
3、
4、=.2.向量的夹角公式:设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),它们的夹角为θ,则cosθ==.特别地,若a⊥b,则x1x2+y1y2=0;反之,若x1x2+y1y2=0,则a⊥b.思考:若A(x1,y1),B(x2,y2),如何计算向量的模?[提示] ∵=-=(x2-x1,y2-y1),∴
5、
6、=.1.已知a=(1,-1),b=(2,3),则a·b=( )A.1 B.-1 C.5 D.-5B [∵a=(1,-1),b=(2,3),∴a·b=1×2-3=-1.]2.已知a=(-2,x),b=(0,1),若a·b=3,则x=________.3 [∵a
7、=(-2,x),b=(0,1),∴a·b=x=3.]3.已知a=(-5,5),b=(0,-3),则
8、a
9、=________,a与b的夹角为________.5 [∵a·b=-15,
10、a
11、==5,
12、b
13、=3,∴cosθ===-,又θ∈[0,π],∴θ=.]4.已知a=(3,1),b=(x,-5),若a⊥b,则x=________. [∵a⊥b,∴a·b=0,∴3x-5=0,∴x=.]数量积的坐标运算【例1】 已知a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1),求(1)a·b;(2)(a+b)·(2a+b);(3)(a·b)·c.思路点拨:先求相关向量的坐标,再代入坐标运算表达式求解.
14、[解] (1)a·b=1×2+3×5=17.(2)∵a+b=(3,8),2a+b=(4,11),∴(a+b)·(2a+b)=12+88=100.(3)(a·b)·c=17c=(34,17).利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件,找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算,列出方程组来进行求解.1.已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10.(1)求a的坐标;(2)若c=(2,-1),求a·(b·c)及(a·b)·c.[解] (1)设a=λb=(λ,2λ)(λ>0),则有a·b=λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4).(2
15、)∵b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,∴a·(b·c)=0·a=0,(a·b)·c=10(2,-1)=(20,-10).向量的夹角【例2】 已知A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值.思路点拨:先求,,再代入向量夹角公式求∠BAC的余弦值.[解] ∵=(5,1)-(2,-2)=(3,3),=(1,4)-(2,-2)=(-1,6),·=3×(-1)+3×6=15.又
16、
17、==3,
18、
19、==,∴cos∠BAC===.已知a,b的坐标求夹角时,应先求出a,b及
20、a
21、,
22、b
23、,再代入夹角公式,由夹角的余弦值确定夹角的大小.2.已知向量a=(-1,2),b=(2,-
24、4),
25、c
26、=,若(c-b)·a=,则a与c的夹角为________.120° [∵a·b=-10,∴(c-b)·a=c·a-b·a=c·a+10=,∴c·a=-.设a与c的夹角为θ,则cosθ===-.又θ∈[0°,180°],∴θ=120°.]向量平行与垂直的综合应用[探究问题]1.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a∥b,则其坐标间满足什么等量关系?a⊥b呢?提示:a∥b⇔x1y2-x2y1=0;a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.2.在△ABC中,已知点A,B,C的坐标,如何用向量法求BC边上的高的大小?提示:设高AD交边BC于点D,由B,D,C三点共线及·=0可求点
27、D的坐标,进而可求
28、
29、.【例3】 已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求
30、
31、与点D的坐标.思路点拨:设D(x,y),由=λ及·=0可求D,进而求
32、
33、.[解] 设点D坐标为(x,y),则=(x-2,y+1),=(-6,-3),=(x-3,y-2),∵D在直线BC上,即与共线,∴存在实数λ,使=λ,即(x-3,y-2)=λ(-6,-3),∴∴x-3=2(y-2),即x-2y+1=0.①又∵AD⊥BC,∴·=0,