2019_2020学年高中数学第1章三角函数3弧度制学案北师大版必修4

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1、§3　弧度制学习目标核心素养1.了解角的另外一种度量方法——弧度制．2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)1.通过学习弧度制的概念，提升数学抽象素养．2．通过角度制和弧度制的换算及弧长公式和面积公式的应用，培养数学运算素养.1．弧度制(1)弧度制的定义在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．(2)角度制与弧度制的互化①弧度数(ⅰ)正角的弧度数是一个正数；(ⅱ)负角

2、的弧度数是一个负数；(ⅲ)零角的弧度数是0；(ⅳ)弧度数与十进制实数间存在一一对应关系．②弧度数的计算

3、α

4、＝.如图：③角度制与弧度制的换算④一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π2π思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？[提示]　在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关．2．弧长公式与扇形面积公式已

5、知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数．角度制弧度制弧长公式l＝l＝

6、α

7、r扇形面积公式S＝S＝l·r＝

8、α

9、r2思考2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？[提示]　设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则S＝lr，l＝αr.1．下列说法中，错误的说法是(　　)A．半圆所对的圆心角是πradB．周角的大小是2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度D　[根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．]2．时针经过一小时，

10、时针转过了(　　)A．rad　　B．－radC．radD．－radB　[时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－rad，故选B.]3．若θ＝－5，则角θ的终边在(　　)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限D　[2π－5与－5的终边相同，∵2π－5∈，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角．]4．已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)A．1B．4C．1或4D．2或4C　[设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得∴或]角度与弧度的互化【例1】　设α1＝51

11、0°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．[解]　(1)∵1°＝rad，∴α1＝510°＝510×＝π，α2＝－750°＝－750×＝－π.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．(2)β1＝＝×＝144°.设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°.∴k＝－1或k＝0.∴在

12、－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.β2＝－＝－×＝－330°.设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．∵－360°≤θ2＜360°，∴－360°≤k·360°－330°＜360°.∴k＝0或k＝1.∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝rad和1rad＝°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·；n°＝n·rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位

13、度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．1．将下列角度与弧度进行互化：(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.[解]　(1)20°＝20×rad＝rad.(2)－15°＝－15×rad＝－rad.(3)πrad＝×180°＝105°.(4)－πrad＝－×180°＝－396°.用弧度制表示终边相同的角【例2】　(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式

14、，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β.[解]　(1)∵－1480°＝－＝－10π＋，0≤<2π，∴－1480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z.又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－，β2＝－π.1．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：(1)仔细观察图形；(2)写出区间边界对应的角；(3)用不等式表示区