龙格_库塔方法与差分法的比较_吴志强

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1、文章编号:1004－5422(2014)04－0337－03龙格—库塔方法与差分法的比较吴志强，张晏铭，秦浩东(长春工业大学基础科学学院，吉林长春130012)摘要:利用Taylor级数展开而构造出的龙格—库塔方法是具有高精度的一种算法．将二阶龙格—库塔方法与差分方法的多种计算格式在求解扩散方程中进行了对比．结果表明，当网格比固定时，龙格—库塔方法在计算精度和计算速度上具有明显优势．关键词:龙格—库塔方法;Taylor级数;有限差分法中图分类号:O241.81文献标志码:A令，0引言nniλjhuj

2、=Ve，对于一维常系数扩散方程，则式(3)变为，222uun+1iλjhariλ(j－2)hiλ(j+2)h－a=f(x，t)，a＞0(1)Ve=［(e+e)+(ar－22tx22iλ(j－1)hiλ(j+1)h把空间微分项用中心差商代替，就得到半离散的常2ar)(e+e)+227λjhn微分方程组，(1－2ar+3ar)e］ViλjhdV(t)1—等式两边消去e，=2AV(t)+f(2)n+12222dthV=［arcos2λh+2(ar－2ar)cosλh+22n采用二阶龙格—库塔方法对

3、半离散的常微分(1－2ar+3ar)］V方程组进行时间导数的离散，则有，则增长因子为，a2r2

4、G(τ，λ)

5、n+1nn22nuj=(uj－2+uj+2+(ar－2ar)(uj－1+22222=

6、arcos2λh

7、+2(ar－2ar)cosλh+n22n22uj+1)+(1－2ar+3ar)uj(3)(1－2ar+3ar)

8、τ2λh224λh其中，r==

9、1－4arsin+8arsin

10、2h2211误差分析如果，aλ≤2，有

11、G(τ，λ)

12、≤1，即，VonNeumann条件满足．对式(1)，由于时间

13、导数的离散采用二阶的龙2格—库塔方法，这一格式的截断误差为O(τ)，式3数值算例(2)的空间微分项用中心差分离散，故空间项的截2对如下定解问题:断误差为O(h)，所以求解一维常系数扩散方程的222uu龙格—库塔方法的截断误差为O(τ+h)．①=2，当0＜x＜1，t＞0时;tx2稳定性分析②u(x，0)=sinπx，当0≤x≤1时;③u(0，t)=u(1，t)=0，当t≥0时．在进行数值模拟时，为保证计算稳定，必须选择其解析解为，合适的计算参数．在取定空间步长后，时间步长的选－π2tu(x，t

14、)=esinπx．取必须满足一定的稳定性条件．为此，利用Fourier对该算例用二阶龙格—库塔格式进行编程计［1－7］变换方法推导龙格—库塔方法的稳定性条件．收稿日期:2014－11－03．基金项目:国家自然科学基金(51278065)、吉林省科技厅基础科学研究(201105105)资助项目．作者简介:吴志强(1988—)，男，硕士研究生，从事微分方程数值解研究．算，并与显格式、隐格式和CN格式方法进行比较．当空间步长h=0.1，网格比取r=0.3，t=0.5时，不同格式和解析解的对比图如图1所示．

15、图2不同格式计算的数值解和解析解的对比图(t=1)表34种格式的迭代比较(J=10)图1不同格式计算的数值解和解析解的对比图(t=0．5)精度显示格式隐式格式龙格库塔法CN格式表1为不同格式计算的数值解和解析解的对1e-310401050102210451e-61742175917271727比．表1不同格式计算的数值解和解析解的对比当J=20，dx=0.05，dt=0.0013，r=0.5，比xj解析解龙格库塔法显式格式隐式格式CN格式较结果如表4．0．10．2222410．2226910．206

16、6800．2389160．222451表44种格式的迭代比较(J=20)0．20．4227280．4235840．3931290．4544460．423127精度显示格式隐式格式龙格库塔法CN格式0．30．5818350．5830140．5410960．6254910．5823850．40．6839880．6853740．6360970．7353090．6846351e-37777877787820．50．7191880．7206450．6688320．7731500．7198671e-817061

17、759171317170．60．6839880．6853740．6360970．7353090．6846350．70．5818350．5830140．5410960．6254910．582385由表3、4可以看出，龙格—库塔方法在一定情0．80．4227280．4235840．3931290．4544460．423127况下，迭代次数较少，计算速度相对较快．0．90．2222410．2226910．2066800．2389160．2224514结论表2为不同格式所用的