龙格-库塔方法

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1、8.2 龙格-库塔方法　　8.2.1二阶龙格-库塔方法　　常微分方程初值问题：　　         　　做在点的泰勒展开：　　　　 　　　　这里。取，就有 (8.11)　　截断可得到近似值的计算公式，即欧拉公式：　　　　若取，式（8.11）可写成：　　　　　　　　或　　 　　　（8.12）　　　　截断可得到近似值的计算公式：　　　　或 　　上式为二阶方法，一般优于一阶的欧拉公式（8.2），但是在计算时，需要计算在点的值，因此，此法不可取。　　龙格-库塔设想用在点和值的线性组合逼近式（8.12）的主体，即用　　 　（8.13）　　逼近　　 　　得到数值公式： （8.14）　　

2、或更一般地写成　　　　对式（8.13）在点泰勒展开得到：　　　　　　　　　　　　将上式与式（8.12）比较，知当满足时有最好的逼近效果，此时式（8.13）－式（8.14）。这是4个未知数的3个方程，显然方程组有无数组解。　　若取，则有二阶龙格-库塔公式，也称为改进欧拉公式：　　　　　　　　        　     （8.15）　　若取，则得另一种形式的二阶龙格-库塔公式，也称中点公式：　　　　　　　　        　    （8.16）　　从公式建立过程中可看到，二阶龙格-库塔公式的局部截断误差仍为，是二阶精度的计算公式。类似地，可建立高阶的龙格-库塔公式，同时可知四阶

3、龙格-库塔公式的局部截断误差为，是四阶精度的计算公式。　　欧拉法是低精度的方法，适合于方程的解或其导数有间断的情况以及精度要求不高的情况，当解需要高精度时，必须用高阶的龙格-库塔等方法。　　四阶龙格-库塔方法应用面较广，具有自动起步和便于改变步长的优点，但计算量比一般方法略大。为了保证方法的收敛性，有时需要步长取得较小，因此，不适于解病态方程。　　8.2.2四阶龙格-库塔公式　　下面列出常用的三阶、四阶龙格-库塔计算公式。　　三阶龙格-库塔公式　　（1）           　　  （8.17）　　（2）           　　     （8.18）　　(3)      

4、        　　 （8.19）　　四阶龙格-库塔公式　　（1）        　   （8.20）　　（2）           （8.21）　　例8.3用四阶龙格-库塔公式（8.20）解初值问题：　　        　　解：取步长，计算公式为：　　　　计算结果列表8.3中。表8.3计算结果12340.20.40.60.81.247891.637622.296183.533891.247921.637782.296963.538020.000030.000160.000780.00413　　8.2.3步长的自适应　　欧拉方法和龙格-库塔方法在计算时仅用到前一步的值，我们

5、称这样的方法为单步法。在单步法计算中根据需要可以取等步长或变步长。对于变化平缓的区段，步长可以取大一些；而对于变化剧烈的区段，则步长可以取小一些。　　以计算为为例，已知的数值，取为初始步长，是给定的控制精度，用欧拉或龙格-库塔方法的计算公式。　　记为由和取步长算出的，记为由和取步长算出的，即，均是的近似值，当

6、，逐步放大步长，，直到时为止，最后取为步长的值。而当，逐步缩小步长，，直到时为止，取为步长的值。　　下面给出自适应算法的描述：　　给定控制精度和初始步长。　　对于　　　　IF THEN　　WHILE 　　     　　ENDWHILE　　　　ELSE　　WHILE 　

7、　     　　ENDWHILE　　　　ENDIF