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1、第4章回归分析曲线拟合问题的特点是，根据得到的若干有关变量的一组数据，寻找因变量与（一个或多个）自变量之间的一个函数，使这个函数对该组数据拟合得最好。通常函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定，要作的工作就是由数据用最小二乘法（不用最小一乘法）计算函数中的待定系数.简单地说，回归分析就是对拟合问题作的统计分析。回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题•建立因变量y与自变量x,…,x间的回归模1m型(经验公式)；•对回归模型的可信度进行检验；•判断每个自变量x对y的影响是否显著；i•诊断回归模型是否适合这组数据；•利用
2、回归模型对y进行预报或控制.§1多元线性回归1.1模型⎧yxx=β++++ββ"ε011mm多元线性回归模型⎨2⎩εσ~(N0,)其中σ未知n个独立观测数据(;,,),(1yxii1""ximi=,,;nnm>)⎧yi=β0+β1xi1+"+βmxim+εi得⎨2ε~N,0(σ),i=,1",n⎩i⎛⎞β0⎛⎞1xxy11"1m⎛1⎞⎛ε1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟β1记，XY==⎜⎟##"#⎜#⎟，εβ=⎜#⎟，=⎜⎟#⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠1xxynn1"mnn⎝⎠⎝ε⎠⎜⎟β⎝⎠m⎧⎪YX=+βε多元线性回归模型可表示为⎨G2⎪⎩εσ~
3、(NI0,)n1.2参数估计n2T误差平方和Q(β)=∑εi=(Y−Xβ)(Y−Xβ)i=1利用最小二乘法(求使Q(β)达最小的β)可求得ˆ()XTTXXY−1最小二乘估计β=得多元线性回归方程yˆ=βˆ+βˆx+"+βˆx011mm拟合值Yˆ=Xβˆ⎛⎞ε⎛⎞yy−111⎜⎟⎜⎟残差向量(拟合误差)ε=##=−=YYˆ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ε⎜⎟⎝⎠n⎝⎠yy−nnnn22残差平方和（或剩余平方和）Sy残==−∑∑εii()yˆiii==111.3统计分析n2平方和分解公式Sy=−=∑()iyS残+S回i=1nnS222且其2~(1χn
4、Sy−=).中，残∑∑(ii−yˆˆ)Sy回=()i−yσii==111.Eˆβ=β2.ˆ~NX(,21(TX))−ββσSS残残22m23.~χσσ(nm−−⇒1)=是的无偏估计2σnm−−1SS回回22m24.~χσσ()m⇒=也是的无偏估计2σm1.4回归模型的假设检验检验问题:Hj:0β==(1,"",mj)↔β(1=,,m)不全为00jjSm/回检验统计量:FF=~(,mn−−m1)Snm/(−−1)残判断:当时FFmnm>−(,−1)拒绝H即认为回归模型显著α0S2回相关系数RR=≤,(0≤1,R越大越好)S1.5回归系
5、数的假设检验()jj()检验问题:H:ββ=↔0Hj:≠0,(=1,...,)m01jj()jH成立时0检验统计量:ˆ~(N,)2c∵ββσjjjjˆ/cH()j成立时β0jjj∴tt=−~(1nm−)jSnm/(−−1)残T−1其中cX是()X对角线上第j+1个元素jj()j判断:当时
6、
7、(ttnm>−−1)拒绝Hjα02说明x的作用显著j1.6回归系数的区间估计对置信水平1-α，β的置信区间:j[(1βˆ∓tnmsc−−)]jαjj2S残其中s=nm−−11.7利用回归模型进行预测对给定的x=(x,",x)0010myˆ=βˆ+
8、βˆx+"+βˆx00101m0m预测区间[,]yusyusˆˆ−+00αα22对y的区间估计方法可用于给出已知数据残差0ε=−yyiˆ，(1=,,)"n的置信区间，iiiεi服从均值为零的正态分布，所以若某个εi的置信区间不包含零点，则认为这个数据是异常的，可予以剔除。1.8Matlab实现Matlab统计工具箱用命令regress实现多元线性回归，用的方法是最小二乘法，用法：b=regress(Y,X)这里Y,X为数组矩阵,b为回归系数估计值βˆ,βˆ,",βˆ01m[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y
9、,X,alpha)这里Y,X同上，alpha为显著性水平(缺省时设为0.05)，b,bint为回归系数估计值和它们的置信区间，r,rint为残差(向量)及其置信区间，stats是用于检验回归模型的统计量，有三个数值，第一个是R2，第二个是F，第3个是与F对应的概率p，p<α拒绝H，回归模型成立0残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图.例1合金的强度与其中的碳含量有比较密切的关系，今从生产中收集了一批数据如下表x0.100.110.120.130.140.150.160.170.18y42.041.545.045.5
10、45.047.549.055.050.0试先拟合一个函数y(x)，再用回归分析对它进行检验.解先画出散点图x=0.1:0.01:0.18;y=[42,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0];p
