数学建模回归分析

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1、回归分析山东建筑大学贺长伟引言回归分析是处理很难用一种精确方法表示出来的变量之间关系的一种数学方法，它是最常用的数理统计方法，能解决预测、控制、生产工艺优化等问题。它在工农业生产和科学研究各个领域中均有广泛的应用。回归分析一般分为线性回归分析和非线性回归分析。本节着重介绍线性回归分析的基本结论及其在Matlab中的相应命令。线性回归分析是两类回归分析中较简单的一类，也是应用较多的一类。一一元线性回归分析针对一组（二维）数据（其中互不相同），其最简单的数据拟合形式为寻求直线，使在最小二乘准则下与所有数据点最为接近。但由于随机观测误差的存在，满足上述数据点的直线应该是(1.1)其

2、中x,y是准确的,是两个未知参数，是均值为零的随机观测误差，具有不可观测性，可以合理地假设这种观测误差服从正态分布。于是我们得到一元线性回归模型为(1.2)其中未知，固定的未知参数称为回归系数，自变量x称为回归变量。(1.1)式两边同时取期望得：称为y对x的回归直线方程。在该模型下，第i个观测值可以看作样本（这些样本相互独立但不同分布,i=1,2,…,n）的实际抽样值，即样本值。一元线性回归分析的主要任务是：a.用实验值（样本值）对作点估计；b.对回归系数作假设检验；c.在处对y作预测，并对y作区间估计。1、回归参数估计假设有n组独立观测值：则由(1.2)有（1.3）其中相互

3、独立。记称为偏离真实直线的偏差平方和。由最小二乘法得到的估计称为的最小二乘估计，其中（经验）回归方程为（1.4）这样我们得到的无偏估计，其中服从正态分布2模型的假设、预测、控制1、回归方程的显著性检验在实际问题中，因变量y与自变量x之间是否有线性关系(1.1)只是一种假设，在求出回归方程之后，还必须对这种回归方程同实际观测数据拟合的效果进行检验。由(1.1)可知，越大，y随x变化的趋势就越明显；反之，越小，y随x变化的趋势就越不明显。特别当=0时，则认为y与x之间不存在线性关系，当时，则认为y与x之间有线性关系。因此，问题归结为对假设进行检验。假设:被拒绝，则回归显著，认为y

4、与x之间存在线性关系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y与x的关系不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义。此时，可能有如下几种情况：（1）x对y没有显著影响，此时应丢掉变量x；（2）x对y有显著影响，但这种影响不能用线性关系来表示，应该用非线性回归；（3）除x之外，还有其他不可忽略的变量对y有显著影响，从而削弱了x对y的影响。此时应用多元线性回归模型。因此，在接受H0的同时，需要进一步查明原因以便分别处理。检验方法：（a）F检验法对样本方差进行分解，有上式中的是由实际观测值没有落在回归直线上引起的（否则为零），U是由回归直线引起的。因此，U越大，就越小

5、，表示y与x的线性关系就越显著；否则，U越小，就越大，表示y与x的线性关系就越不显著。这样我们就找到了一种判别回归直线拟合程度好坏的方法：如果U/s接近于1，即U/较大时，则对拟合效果感到满意。由F分布有其中r称为相关系数。对给定的显著水平a，有置信水平为1-a的临界值，从而F检验法的检验准则为：当时，拒绝；否则就接受（b）t检验法当成立时，由T分布的定义有因此，对于给定的显著水平a，用T统计量检验，有置信水平为1-a的临界值,从而t检验法的检验准则为：当时，拒绝；否则就接受2、预测与控制当检验结果拒绝了:，接下来的问题是如何利用回归方程进行预测和控制。预测就是对固定的x值预

6、测相应的y值，控制就是通过控制x的值，以便把y的值控制在制定的范围内。(a)预测设y与x满足模型(1.2)。令表示x的某个固定值，且假设相互独立，则的预测值和预测区间如下。y的预测值为的回归值。它是的无偏估计，即给定显著水平，的置信水平为1-的预测区间为，其中由上式可知，剩余标准差越小，预测区间越小，预测值越精确；对于给定的样本观测值和置信水平而言，越靠近时，预测精度就越高。(b)控制若要的值以1-的概率落在指定区间(c,d)之内，变量x应控制在什么范围内的问题就是所谓的控制问题。它是预测问题的反问题。只要控制x满足以下两不等式这要求若方程分别有解a,b，则(a,b)就是所求

7、的x的控制区间。二可线性化的一元非线性回归（曲线回归）在工程技术中，自变量x与因变量y之间有时呈现出非线性（或曲线）关系，这是通常出现两种情况：一种是呈现多项式的关系，这种情况通过变量替换可化为多元线性回归问题给予解决；另一种是呈现出其它非线性关系，通过变量替换可化为一元线性回归问题给予解决。若匹配曲线（经验公式）为含参量a,b的非线性曲线，采用的办法是通过变量替换把非线性回归化为线性回归。通常匹配的含参量a,b的非线性曲线有以下六类，具体的替换方法如下：1双曲线作变量替换得2幂函数曲线两边取常用对数：