高考数学二轮复习专题七选修系列第2讲不等式选讲课时规范练文

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1、第2讲不等式选讲（选修4-5）1．(1)(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤8.(2)设a＞0，

2、x－1

3、＜，

4、y－2

5、＜，求证

6、2x＋y－4

7、＜a.证明：(1)因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，且(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，所以(ac＋bd)2≤4×16＝64，故ac＋bd≤8.(2)因为

8、x－1

9、＜，

10、y－2

11、＜，所以

12、2x＋y－4

13、＝

14、2(x－1)＋(y－2)

15、≤2

16、x－1

17、＋

18、y－2

19、＜2×＋＝a.故原不等式得证．2．(2017·郴州三模)在平面直角坐标系中，定义点P(x1，y1)、Q(x

20、2，y2)之间的“直角距离”为L(P，Q)＝

21、x1－x2

22、＋

23、y1－y2

24、，已知点A(x，1)、B(1，2)、C(5，2)三点．(1)若L(A，B)＞L(A，C)，求x的取值范围；(2)当x∈R时，不等式L(A，B)≤t＋L(A，C)恒成立，求t的最小值．解：(1)由定义得

25、x－1

26、＋1＞

27、x－5

28、＋1，则

29、x－1

30、＞

31、x－5

32、，两边平方得8x＞24，解得x＞3.(2)当x∈R时，不等式

33、x－1

34、≤

35、x－5

36、＋t恒成立，也就是t≥

37、x－1

38、－

39、x－5

40、恒成立，因为

41、x－1

42、－

43、x－5

44、≤

45、(x－1)－(x－5)

46、＝4，所以t≥4，tmin＝4.故t的最小值为4.3．(2016·全国

47、卷Ⅲ)已知函数f(x)＝

48、2x－a

49、＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝

50、2x－1

51、.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝

52、2x－2

53、＋2.解不等式

54、2x－2

55、＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x

56、－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝

57、2x－a

58、＋a＋

59、1－2x

60、≥

61、2x－a＋1－2x

62、＋a＝

63、1－a

64、＋a.当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于

65、1－a

66、＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a＞1时，①等价于a－1＋a≥

67、3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．(导学号55410140)(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，

68、a＋b

69、＜

70、1＋ab

71、.(1)解：f(x)＝当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，解得x＞－1，所以－1＜x≤－；当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立．当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1，所以≤x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x

72、－1＜x＜1}．(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1.从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2

73、－1)(1－b)2＜0，所以(a＋b)2＜(1＋ab)2，因此

74、a＋b

75、＜

76、1＋ab

77、.5．(2017·池州模拟)已知函数f(x)＝

78、2x－a

79、＋a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x

80、－2≤x≤3}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．解：(1)函数f(x)＝

81、2x－a

82、＋a，由f(x)≤6，可得解得a－3≤x≤3.又不等式的解集为{x

83、－2≤x≤3}，可得a－3＝－2，所以实数a＝1.(2)在(1)的条件下，f(x)＝

84、2x－1

85、＋1，所以f(n)＝

86、2n－1

87、＋1，存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，

88、即f(n)＋f(－n)≤m，即

89、2n－1

90、＋

91、2n＋1

92、＋2≤m.由于

93、2n－1

94、＋

95、2n＋1

96、≥

97、(2n－1)－(2n＋1)

98、＝2，所以

99、2n－1

100、＋

101、2n＋1

102、的最小值为2，所以m≥4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)．6．(2017·郑州质检)已知a＞0，b＞0，函数f(x)＝

103、x＋a

104、＋

105、x－b

106、的最小值为4.(1)求a＋b的值；(2)求a2＋b2的最小值．解：(1)因为

107、x＋a

108、＋

109、x－b

110、≥

111、a＋b

112、，所以f(x)≥

113、a＋b

114、，当且仅当(x＋a)(x－b)＜0时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以

115、a＋b

116、＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b，所以a＋b＝4.(2)由(

117、1)知a＋b＝4，b＝4－a，a2＋b2＝a2＋(4－a)2＝a2－a＋＝＋，当且仅当a＝，b＝时，a2＋b2的最小值为.7．(2017·乐山二模)已知定义在R上的函数f(x)＝

118、x－m

119、＋

120、x

121、，m∈N*，若存在实数x使得f(x)＜2成立．(1)求实数m的值；(2)若α，β＞1，f(α)＋f(β)＝6，求证：＋≥.(1)解：因为

122、x－m

123、＋

124、x

125、≥

126、x－m－x

127、＝

128、m

129、，所以要使

130、x－m

131、＋

132、x

133、＜2有解，则

134、m

135、＜2，解得－2＜m＜2.因为m∈N*，所以m＝1.(