高中数学第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理预习导学案新人教A版选修

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1、二圆内接四边形的性质与判定定理预习导航课程目标学习脉络1．了解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理及其应用．2．理解圆内接四边形的判定定理及其推论，并能解决有关问题．3．了解反证法在证明问题中的应用.1．性质定理1文字语言圆的内接四边形的对角互补符号语言若四边形ABCD内接于圆O，则有∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°图形语言作用证明两个角互补2．性质定理2文字语言圆内接四边形的外角等于它的内角的对角符号语言四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，则有∠CBE＝∠ADC图形语言作用证明两个角相等总结(1)利用这两个性质定理，可以借助

2、圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系，再进行其他的计算或证明．(2)利用这两个定理可以得出一些重要结论，如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形等．3．圆内接四边形判定定理文字语言如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆3符号语言在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝180°(或∠A＋∠C＝180°)，那么A，B，C，D四点共圆图形语言作用证明四点共圆4．推论文字语言如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形ABCD中，延长AB到E，若∠CBE＝∠ADC，则A，

3、B，C，D四点共圆图形语言作用证明四点共圆归纳总结性质定理1和判定定理互为逆定理，性质定理2和判定定理的推论互为逆定理．思考1圆内接四边形判定定理的证明思路是什么？提示：要证明四边形ABCD内接于圆，就是要证明A，B，C，D四点在同一个圆上．根据我们的经验，若能证明这四个点到一个定点的距离相等即可．但是这个定点一时还找不出来．不过，对于不在同一条直线上的三点来说，总可以确定一个圆．因此我们可以先经过A，B，C，D中的任意三个点，譬如A，B，C三点作一个圆，再证明第四个点D也在这个圆上就可以了．但是直接证明点D在圆上很困难，所以我们采用反证法证明，也就是假设点

4、D不在圆上，经过推理论证，得出错误的结论，这就说明点D不在圆上是错误的，因此点D只能在圆上．由于点D不在圆上时，可能出现点D在圆外和点D在圆内两种情况，所以应分别加以证明，下面先讨论点D在圆内的情况．假设点D在圆内，若作出对角线BD，设BD和圆交于点D′.连接AD′，CD′，则ABCD′为圆内接四边形(如图)，则∠ABC＋∠AD′C＝180°.另一方面，因为∠ADB，∠BDC分别是△AD′D和△CD′D的外角，所以有∠AD′B<∠ADB，∠BD′C<∠BDC，于是有∠AD′C<∠ADC.因为已知∠ABC＋∠ADC＝180°，所以∠ABC＋∠AD′C<180°

5、，这与圆内接四边形的性质定理矛盾．因此可证点D3不能在圆内．用类似的方法也可以证明点D不能在圆外．因此点D在圆上，即四边形ABCD内接于圆．思考2判定四点共圆的方法有哪些？提示：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)．温馨提示反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，

6、经过正确的推理，导出矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法．用反证法证明一个命题的步骤为：(1)反设，(2)归谬，(3)结论．反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表达形式是有必要的，例如是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n－1)个；至多有一个/至少有两个等．归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，推理必须严谨，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛

7、盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾等．3