高中数学第一章数II1.1任意角的概念与蝗制1.1.2蝗制和蝗制与角度制的换算预习导航学案

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1、1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算预习导航课程目标学习脉络1．理解弧度制的定义．2．掌握角度与弧度的换算公式，并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数．3．理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系．4．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并会运用其解决问题．1．弧度制(1)弧度制．长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制的角，其单位符号为rad，读作：弧度．(2)弧度数．在半径为r的圆中，弧度为l的弧所对圆心角为αrad，则α＝，弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．总结：(1

2、)不同半径的圆中相同的圆心角所对的角的弧度数是相同的．(2)用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如：角α＝10就表示α是10弧度的角．(3)和角度制相比，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，两种单位不能混用，如＋k·360°或60°＋2kπ的写法是不允许的，尤其是当角是用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k·360°＋α等．(3)度量．①一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零．②角α的弧度数的绝对值为

3、α

4、＝(其中l是以角α作为圆心角所对的弧

5、长，r是圆的半径)．(4)弧度制与角度制的比较．角度制用度作为单位来度量角的单位制角大小与半径无关单位“°”不能省略角的正负与方向有关六十进制弧度制用弧度作为单位来度量角的单位制角大小与半径无关单位“rad”可以省略角的正负与方向有关十进制2．角度制与弧度制(1)角度制与弧度制的换算．角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝rad≈0．017_45rad1rad＝°≈57．30°(2)特殊角的弧度数．角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0角度180°210°2

6、25°240°270°300°315°330°360°弧度π2π(3)对应关系．角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应．注意：(1)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数值相同(都是零)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数值也不同．(2)以弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，若无特殊要求，不必把π写成小数，如30°＝．自主思考1正实数、负实数、零与哪些角是一一对应关系？提示：

7、自主思考2如何用弧度制表示象限角与坐标轴上的角？提示：(1)象限角的表示：角α终边所在的象限集合第一象限第二象限第三象限第四象限(2)坐标轴上角的表示：角α的终边所在的坐标轴集合x轴非负半轴x轴非正半轴x轴y轴非负半轴y轴非正半轴y轴坐标轴3．扇形的弧长及面积公式角度制弧度制弧长公式l＝l＝

8、α

9、r扇形面积公式S＝S＝r2＝rl注意事项r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长特别提醒　　(1)在运用公式时，观察已知的是弧长还是弧度数，选择合适的公式代入．(2)在弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(

10、其中h是三角形底边a上的高)有相似的形式．(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l＝

11、α

12、r，

13、α

14、＝，r＝；②

15、α

16、＝．(4)比值只反映弧所对圆心角的大小，不反映圆心角的方向，应注意

17、α

18、＝中的绝对值符号，否则会漏掉．(5)由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量．