高中数学第一章数II1.1任意角的概念与蝗制1.1.2蝗制和蝗制与角度制的换算课堂探究学案

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1、1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算课堂探究探究一　弧度制的概念必须牢记弧度制的定义，并在解决问题时有意识地加强应用，才能快速地掌握该定义．【例1】下面各命题中，是假命题的为__________．(填序号)①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1度的角是周角的，1弧度的角是周角的；③根据弧度的定义，180°一定等于π弧度；④不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与所在圆的半径的大小有关．解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小均与所在圆的半径的大小无关，而是与圆心角

2、的大小有关，所以④是假命题．答案：④点评　要记住1°角及1rad角的定义，以免概念混淆．探究二　角度制与弧度制的互化牢记关系式180°＝πrad，它是推导角度与弧度换算公式的关键．利用1°＝rad可将角度化成弧度；利用1rad＝°可将弧度化成角度．如果角度以度、分、秒的形式给出，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如，2弧度化为度应是°＝°．【例2】(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若角β∈[－4π，0]，且角β与(1)中角α的终边相同，求角β．分

3、析：利用角度与弧度的关系将－1480°化为弧度即可，由角β的范围及β＝α＋2kπ(k∈Z)即可求出角β．解：(1)因为－1480°＝＝－10π＋，且0≤<2π，所以－1480°＝＋2×(－5)π．(2)因为角β与角α的终边相同，所以β＝α＋2kπ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为β∈[－4π，0]，所以β1＝－2π＝，β2＝－4π＝．所以β＝或．反思　在一定的约束条件下，求与角α终边相同的角，一般地，先将满足约束条件的角表示为2kπ＋α(k∈Z)的形式，再在约束条件下确定k的值，进而求出满足条件的角．探究三　用

4、弧度制表示角的集合用弧度制表示角的集合，实质是角度表示角的集合在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算，注意单位要统一．【例3】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．分析：解：(1)如图(1)所示，以OB为终边的角为225°，可看作－135°，因为－135°＝，135°＝，所以．(2)如图(2)所示．因为30°＝，210°＝，所以∪＝∪＝．所以即为所求．反思　(1)表示角的集合时，只能用角度制或弧度制中的一种，不能混用．(2)进行区

5、间合并时，要做到准确无误，注意π的整数倍．(3)还要注意角的终边所在的阴影部分的边界是实线还是虚线．探究四　扇形面积公式，弧长公式的应用根据已知条件选用弧长公式及扇形面积公式或它们的变形，有时要利用列方程(组)、二次函数的最值、平面几何等知识解决问题．【例4】解答下列各题：(1)已知扇形的面积为1cm2，它的周长为4cm，求它的圆心角；(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20cm，求扇形的面积．解：(1)设扇形的弧长为lcm，半径为rcm，则l＝4－2r．因为S扇形＝，所以(4－2r)·r＝1，解得

6、r＝1，l＝2．所以圆心角的弧度数为α＝＝2(rad)．(2)设扇形的弧长为lcm．因为72°＝72×＝(rad)，所以l＝

7、α

8、·r＝×20＝8π(cm)．所以扇形的面积S＝＝×8π×20＝80π(cm2)．反思　利用弦长公式和扇形面积公式解题时，常用到方程思想，同时要注意解的取舍．【例5】已知扇形的周长为10cm，则当扇形的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？解：设扇形的半径为rcm，则弧长为(10－2r)cm，由题意得S＝(10－2r)·r＝－r2＋5r＝＋，所以当r＝cm时，Smax＝(cm2

9、)．此时l＝10－2r＝5(cm)，则α＝＝＝2(rad)．综上所述，当扇形的半径为cm和圆心角为2rad时，扇形的面积最大．反思　求面积的最值关键是找出面积关于一个变量的函数，针对此题莫忘记函数的定义域的求解，还有求二次函数的最值一般用配方法．探究五　易错辨析易错点：误认为不同区间角中的k是一致的【例6】已知＋2kπ<α<＋2kπ，2kπ<β<＋2kπ，其中k∈Z，求α＋β的范围．错解：由已知两式左右两边分别相加，可得＋4kπ<α＋β<π＋4kπ，k∈Z．错因分析：此题的错因是对终边相同的区间角理解不到

10、位，误认为两式中的k是一致的，从而缩小了α＋β的范围．正解：因为＋2k1π<α<＋2k1π，k1∈Z，2k2π<β<＋2k2π，k2∈Z，所以＋2(k1＋k2)π<α＋β<π＋2(k1＋k2)π，k1，k2∈Z．又因为k1，k2∈Z，所以存在整数k，使得k＝k1＋k2．所以＋2kπ<α＋β<π＋2kπ，k∈Z．