高中数学第一章数列1.4数列在日常经济生活中的应用数列求和的常用方法素材

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1、数列求和的常用方法一、分解相加法如果一个数列的第n项能分解成多项的代数和，各项是等差（或等比）数列通项公式右边的形式可用此法，分别求和即可。求和1+3+5+…+[（2n-1）+]n个}4+44+444+……+44…4解：（1）原式=[1+3+5+…+（2n-1）]+[++…+]=+=n2+1-（）n（2）∵44…4=（10n-1）∴原式=（101+102+…+10n）-n=·-n=（10n-1）-n二、裂相相消法如果一个数列的第n项能裂为两项的差，可用此法。相加，消中间项，即可求和。例2已知数列{

2、an}中，an=，求Sn解：令=-，则=∴→A=B=，∴an=（-），∴Sn=[（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）+（-）]=（+--）=-3点评：∵（n+3）-（n+1）=2，解题时可直得an=（-）三、乘比（公比）相减法若{an}组成等差数列，{bn}组成等比数列，求{anbn}的前n项和的方法是给Sn等式两边同乘公比后两等式相减便可求和。例3求1+6+27+…+n·3n-1解：Sn=1·30+2·31+3·32+…+n·3n-1，3Sn=1·31+2·32+…+3·33+…+（n-1

3、）·3n-1+n·3n（1-3）Sn=1·30+（31+32+…+3n-1）-n·3n=1+-n·3n=-+3n-n·3n，∴Sn=+（-）3n四、并项求和法对某些项正负相间的数列，在求其前n项和时，有时可根据其规律，若干项并为一组，从而求和例4求和Sn=-1+3-5+7-…+（-1）n（2n-1）解：当n为偶数时，Sn=（-1+3）+（-5+7）+…——[-（2n-3）+（2n-1）]=2+2+…+2=·2=n当n为奇数时，则n-1为偶数Sn=-1+3-5+7-…-（2n-1）=-1+（3-5）

4、+（7-9）+……+[（2n-3）-（2n-1）]=-1+（-2）+（-2）+…+（-2）=-1+（-2）=-1-n+1=-n五、归纳——猜想——证明法在利用上述几种方法求和困难时，可考虑此法例5求an=的前n项的和解：S1=a1=，S2=，S3=，猜想Sn==1-以下用数列归纳法证明（略）六、倒序相加法：与推等差数列前n项和方法相同例6求Sn=33解：Sn=0·，又Sn=3n·两式相加2Sn=3n3